Eksponentiel vækst
\(f(x)=b\cdot a^x\) — fordobling, halvering og vækstrate
Eksponentiel vækst bruges, når noget ændrer sig med en fast procent i hvert tidsskridt — ikke et fast beløb (det ville være lineær). Eksempler: renters rente, befolkningsvækst, bakterier.
Nøglen: fremskrivningsfaktoren a = 1 + vækstraten. Stiger noget med 7%? Ganger du med 1,07 hvert år. Falder det med 12%? Ganger du med 0,88.
b er startværdien — det tal der bruges når x = 0.
b = startværdi
a = fremskrivningsfaktor
Formler
Eksponentiel funktion
\(f(x) = \textcolor{#3b82f6}{b}\cdot \textcolor{#10b981}{a}^x\), vækstrate \(r = a-1\)
Fordoblingstid
\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln a}\) (kræver \(a > 1\))
Halveringstid
\(T_{1/2} = \dfrac{-\ln 2}{\ln a}\) (kræver \(a < 1\))
Fra procent til a
Stiger med 15% → \(a = 1{,}15\). Falder med 8% → \(a = 0{,}92\).
Eksempler
Eksempel"9400 ansatte, stiger 15% om året" — bestem a og b▼
1
Startværdi
\(b = 9400\) (antallet ved start)
\(b = 9400\) (antallet ved start)
2
Fremskrivningsfaktor
Stiger 15% → \(a = 1+0{,}15 = \textcolor{#10b981}{1{,}15}\)
Stiger 15% → \(a = 1+0{,}15 = \textcolor{#10b981}{1{,}15}\)
3
Forskrift
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{9400\cdot 1{,}15^x}\)
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{9400\cdot 1{,}15^x}\)
Eksempel 2Fordoblingstid: Hvornår er 9400 vokset til 18800?▼
1
Brug fordoblingstidsformlen
\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}15} = \dfrac{0{,}693}{0{,}140} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}96 \text{ år}}\)
\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}15} = \dfrac{0{,}693}{0{,}140} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}96 \text{ år}}\)
Eksempel 3Henfald: Et stof mister 8% pr. time. Start: 500 g. Opstil model.▼
1
Falder 8% → a = 1 − 0,08 = 0,92
\(f(t) = 500\cdot 0{,}92^t\)
\(f(t) = 500\cdot 0{,}92^t\)
2
Halvering: efter ca. 8,3 timer
\(T_{1/2} = \dfrac{-\ln 2}{\ln 0{,}92} \approx \textcolor{#ef4444}{8{,}3 \text{ timer}}\)
\(T_{1/2} = \dfrac{-\ln 2}{\ln 0{,}92} \approx \textcolor{#ef4444}{8{,}3 \text{ timer}}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- "Bestem a og b" fra kontekst (startantal + procentvis ændring)
- "Bestem fordoblingstiden" → brug ln-formlen
- "Hvad fortæller tallet a/b?" → fortolk i konteksten
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Vækstrate 15% → \(a=1{,}15\), IKKE \(a=15\) eller \(a=0{,}15\)
- \(a < 1\) er henfald (halveringstid), \(a > 1\) er vækst (fordoblingstid)
- b er startværdien — det tal der står FORAN \(a^x\)