Potensfunktion
\(f(x) = b\cdot x^a\) — indsæt og beregn
En potensfunktion \(f(x) = b \cdot x^a\) har x som grundtal (i modsætning til eksponentiel, hvor a er grundtal og x er eksponent). De bruges til at beskrive naturlove og sammenhænge i biologi og økonomi.
Startværdien er f(1) = b — ikke f(0) som ved eksponentielle funktioner. Eksponenten a bestemmer kurvens "form": a > 1 (konveks), a = 1 (lineær), 0 < a < 1 (konkav), a < 0 (aftagende).
Formler
Potensfunktion
\(f(x) = b\cdot x^a\)
\(a > 1\): vækst hurtigere end lineær. \(0 < a < 1\): vækst langsommere. \(a < 0\): aftagende.
\(a > 1\): vækst hurtigere end lineær. \(0 < a < 1\): vækst langsommere. \(a < 0\): aftagende.
Specielle tilfælde
\(x^{0{,}5} = \sqrt{x}\) \(x^{0{,}25} = \sqrt[4]{x}\) \(x^{-1} = \frac{1}{x}\)
Eksempler
Eksempel\(H = 52{,}56\cdot x^{0{,}2}\), find H for x = 0,8▼
1
\(H = 52{,}56\cdot 0{,}8^{0{,}2} = 52{,}56\cdot 0{,}9564 \approx \textcolor{#ef4444}{50{,}3}\)
💡 Du har brug for en lommeregner til at beregne \(x^a\) når a ikke er et helt tal. Tast: \(0{,}8\) ^ \(0{,}2\) =
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Model: \(f(x) = b \cdot x^a\) — lineær i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
- Find a og b: log-log regression på lommeregneren
- Nøgleord: "potensmodel", "power model", log-log lineær sammenhæng
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Potensmodel ≠ eksponentiel model: \(b\cdot x^a\) vs \(b\cdot a^x\)
- a er eksponenten — den angiver "hastigheden" af væksten
- Startværdi \(f(1) = b\) (ikke f(0) som ved eksponentiel)