Kombinatorik
Antal måder at vælge r elementer fra n
Kombinatorik handler om at tælle, på hvor mange måder man kan vælge elementer. Det grundlæggende spørgsmål: Har rækkefølgen betydning?
- Nej → Kombination: "vælg 3 ud af 20" — hvem, ikke i hvilken rækkefølge
- Ja → Permutation: "1., 2., 3. plads" — rækkefølgen afgør præmien
Faktorial: n! = n · (n-1) · ... · 2 · 1. Eks: 4! = 24. Og 0! = 1 pr. definition.
Formler
Kombination (rækkefølge ligegyldig)
\(K(n,r) = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
Eksempler
EksempelVælg 2 fra 20 elever▼
1
\(K(20,2) = \frac{20\cdot 19}{2\cdot 1} = \frac{380}{2} = \textcolor{#ef4444}{190}\)
Eksempel 2P(alle 3 piger) ud af klasse med 12 piger og 8 drenge?▼
1
Gunstige: vælg 3 piger ud af 12
\(\binom{12}{3} = \dfrac{12\cdot11\cdot10}{6} = 220\)
\(\binom{12}{3} = \dfrac{12\cdot11\cdot10}{6} = 220\)
2
Mulige: vælg 3 ud af 20
\(\binom{20}{3} = \dfrac{20\cdot19\cdot18}{6} = 1140\)
\(\binom{20}{3} = \dfrac{20\cdot19\cdot18}{6} = 1140\)
3
\(P = \dfrac{220}{1140} \approx \textcolor{#ef4444}{19{,}3\%}\)
💡 Genvej for K(n,2): \(\frac{n\cdot(n-1)}{2}\). For K(n,3): \(\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\).
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Kombination: rækkefølgen er ligegyldig — "vælg k ud af n"
- Permutation: rækkefølgen betyder noget — "k pladser ud af n"
- Brug formlerne: \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Kombination ≠ permutation: er rækkefølgen vigtig? Nej → kombination
- \(\binom{7}{3} = \binom{7}{4}\) — vælg den mindste k for nemmere beregning
- Factorial: \(5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120\), og \(0! = 1\)