Lineær funktion
\(f(x) = a\cdot x + b\) — hældning og skæring med y-aksen
En lineær funktion \(f(x) = ax + b\) er en ret linje. Grafen stiger, falder eller er vandret afhængigt af hældningskoefficienten a.
Hvad betyder a og b? a er hældningen — for hver enhed x stiger, ændres y med a. b er skæringen med y-aksen — den y-værdi grafen har, når x = 0.
I kontekst: hvis en taxa koster 20 kr. at stige på og 5 kr./km, er b = 20 (startpris) og a = 5 (km-pris).
a = hældning
b = skæring m. y-aksen
Formler
Hældning fra to punkter
\(\textcolor{#3b82f6}{a} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Skæring med y-aksen
\(\textcolor{#10b981}{b} = y_1 - \textcolor{#3b82f6}{a}\cdot x_1\)
Fortolkning
\(a\): "Hvor meget stiger y, når x stiger med 1"
\(b\): "Værdien af y, når \(x=0\)"
\(b\): "Værdien af y, når \(x=0\)"
Eksempler
EksempelBestem a og b fra tabel: \(f(-2)=1\), \(f(2)=3\)▼
1
Find a
\(a = \frac{3-1}{2-(-2)} = \frac{2}{4} = \textcolor{#3b82f6}{0{,}5}\)
\(a = \frac{3-1}{2-(-2)} = \frac{2}{4} = \textcolor{#3b82f6}{0{,}5}\)
2
Find b
\(b = 1 - 0{,}5\cdot(-2) = 1+1 = \textcolor{#10b981}{2}\)
\(b = 1 - 0{,}5\cdot(-2) = 1+1 = \textcolor{#10b981}{2}\)
3
Forskrift
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{0{,}5x+2}\)
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{0{,}5x+2}\)
Eksempel 2Kontekst: En taxa koster 20 kr. at stige på + 5 kr./km. Opstil og aflæs.▼
1
Identificér a og b
\(a = 5\) (5 kr. pr. km), \(b = 20\) (startpris)
\(a = 5\) (5 kr. pr. km), \(b = 20\) (startpris)
2
Forskrift
\(f(x) = 5x + 20\)
\(f(x) = 5x + 20\)
3
Pris for 8 km
\(f(8) = 5\cdot8+20 = \textcolor{#ef4444}{60}\) kr.
\(f(8) = 5\cdot8+20 = \textcolor{#ef4444}{60}\) kr.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Find a (hældning) og b (skæring) — nøgleord: "lineær", "ret linje", "y=ax+b"
- To punkter givet: \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), find b ved indsætning
- Graf skærer y-aksen i \((0, b)\) og stiger/falder med a per enhed
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Hældning: tæller er forskel i y, nævner er forskel i x — ikke omvendt
- \(b\) er skæring med y-aksen — sæt \(x=0\) for at finde den
- Negativ hældning = aftagende funktion — grafen hælder nedad mod højre