Procentregning & rente
Procent af, procentvis stigning/fald og renters rente
Procentregning er fundamental i dagligdagen: rabatter, lønstigninger, renter, skatter. Ordet "procent" betyder "ud af hundrede" — 7% = 7/100 = 0,07.
Renters rente (opsparing, lån) er eksponentiel vækst: du tjener rente af renten du allerede har optjent. Formlen \(K_n = K_0 \cdot (1+r)^n\) beregner beløbet efter n perioder.
Pas på: 5% rente giver r = 1,05 — ikke r = 0,05. Faktoren inkluderer dit startbeløb (1) plus renten (0,05).
Formler
Procent af
\(p\%\) af \(K\) = \(K\cdot\frac{p}{100}\)
Renters rente
\(K_n = K_0\cdot(1+r)^n\), hvor \(r\) er renten som decimaltal
Eksempler
Eksempel14000 kr., 3% rente, 5 år▼
1
\(K_5 = 14000\cdot 1{,}03^5 = 14000\cdot 1{,}1593 \approx \textcolor{#ef4444}{16230}\) kr.
Eksempel 2Tilbageregning: Du vil have 100.000 kr. om 10 år. Rente = 4%. Hvad indsætter du nu?▼
1
Isolér K₀ i formlen
\(K_0 = \dfrac{K_n}{(1+r)^n} = \dfrac{100000}{1{,}04^{10}}\)
\(K_0 = \dfrac{K_n}{(1+r)^n} = \dfrac{100000}{1{,}04^{10}}\)
2
\(K_0 = \dfrac{100000}{1{,}4802} \approx \textcolor{#ef4444}{67.556}\) kr.
Eksempel 3 — faldgrubeEn vare koster 800 kr., stiger 20%, falder 20%. Hvad koster den nu?▼
1
Stigning: 800 · 1,20 = 960 kr.
2
Fald: 960 · 0,80 = 768 kr.
\(\textcolor{#ef4444}{768 < 800}\) — stigning og fald med SAMME procent giver IKKE det samme beløb!
\(\textcolor{#ef4444}{768 < 800}\) — stigning og fald med SAMME procent giver IKKE det samme beløb!
💡 Husk: Renters rente = eksponentiel vækst. 3% rente pr. år svarer til \(a = 1{,}03\).
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Renteformlen: \(K_n = K_0 \cdot r^n\) — \(r = 1 + \text{rente}\)
- "Hvornår er beløbet fordoblet?" — løs \(r^n = 2\) for n
- Tilbagediskontering: \(K_0 = \dfrac{K_n}{r^n}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Vækstfaktoren: 5% rente giver \(r = 1{,}05\), ikke \(r = 0{,}05\)
- Antal perioder: \(n\) er antal gange renten tilskrives, ikke antal år
- Renters rente: \(K_0 \cdot r^n \neq K_0 + n \cdot r \cdot K_0\) — brug potensen