Trekantberegning
Areal, cosinusrelation og sinusrelation
Trekantberegning handler om at finde ukendte sider og vinkler. Metoden afhænger af hvad du kender:
- Retvinklet + to sider: Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Retvinklet + side + vinkel: SOH-CAH-TOA (sin/cos/tan)
- To sider + mellemvinkel: areal \(T = \frac{1}{2}ab\sin C\)
- Alle tre sider: cosinusrelation til at finde vinkler
Formler
Areal (grundlinje · højde)
\(T = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h\)
Areal (to sider + vinkel)
\(T = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)\)
Cosinusrelationen
\(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos(C)\)
Eksempler
EksempelAreal: \(a=7\), \(b=10\), \(\angle C=60°\)▼
1
\(T = \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot\sin(60°) = 35\cdot 0{,}866 \approx \textcolor{#ef4444}{30{,}3}\)
Eksempel 2Cosinusrelation: a=5, b=7, C=40°. Find siden c.▼
1
Indsæt i formlen
\(c^2 = 5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos(40°) = 25+49-70\cdot0{,}766 = 74-53{,}6 = 20{,}4\)
\(c^2 = 5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos(40°) = 25+49-70\cdot0{,}766 = 74-53{,}6 = 20{,}4\)
2
Tag kvadratroden
\(c = \sqrt{20{,}4} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}52}\)
\(c = \sqrt{20{,}4} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}52}\)
Eksempel 3Retvinklet: Find den ukendte side. Hypotenusen = 10, én katete = 6.▼
1
Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(6^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow b^2 = 100-36 = 64\)
\(6^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow b^2 = 100-36 = 64\)
2
\(b = \sqrt{64} = \textcolor{#ef4444}{8}\)
💡 Vælg den rigtige formel: Kender du grundlinje + højde → brug \(\frac{1}{2}gh\). Kender du to sider + mellemvinkel → brug \(\frac{1}{2}ab\sin C\). Kender du tre sider → brug cosinusrelationen til vinkler.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Retvinklet trekant: Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\), sinus/cosinus/tangens
- Vilkårlig trekant: sinusrelationen, cosinusrelationen, areal \(= \frac{1}{2}ab\sin C\)
- Nøgleord: "bestem siden/vinklen", "retvinklet", "vilkårlig trekant"
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Pythagoras gælder KUN for retvinklede trekanter — tjek om der er en ret vinkel
- \(\tan\theta = \text{modstående}/\text{hosliggende}\) — ikke omvendt
- Cosinusrelation: husk at der er tre udgaver — brug den der passer til det kendte