Afstand punkt–linje
Vinkelret afstand fra punkt til linje
Afstandsformlen giver den korteste (vinkelrette) afstand fra et punkt til en linje. Linjen SKAL stå på formen \(ax + by + c = 0\) — omskriv altid FØR brug.
Absolutværdien i tælleren sikrer, at afstanden er positiv uanset hvilken side punktet er på. Det er den eneste formel der bruges — den er direkte og nem, men linjeformen er afgørende.
Formler
Afstand fra punkt til linje
\(\text{dist}(P, l) = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Linje: \(ax+by+c=0\), Punkt: \(P=(x_0,y_0)\)
Eksempler
EksempelAfstand fra \(P=(3,1)\) til \(2x-y+4=0\)▼
1
Indsæt i formlen
\(\text{dist} = \frac{|2\cdot3+(-1)\cdot1+4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6-1+4|}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \textcolor{#ef4444}{\frac{9\sqrt{5}}{5}\approx 4{,}02}\)
\(\text{dist} = \frac{|2\cdot3+(-1)\cdot1+4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6-1+4|}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \textcolor{#ef4444}{\frac{9\sqrt{5}}{5}\approx 4{,}02}\)
Eksempel 2Afstand fra \(P(3,1)\) til linjen \(2x-y+4=0\)▼
1
Brug formlen direkte
\(d = \dfrac{|2\cdot3 - 1\cdot1 + 4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(d = \dfrac{|2\cdot3 - 1\cdot1 + 4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
2
Beregn
\(d = \dfrac{|6-1+4|}{\sqrt{5}} = \dfrac{9}{\sqrt{5}} = \dfrac{9\sqrt{5}}{5} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}02}\)
\(d = \dfrac{|6-1+4|}{\sqrt{5}} = \dfrac{9}{\sqrt{5}} = \dfrac{9\sqrt{5}}{5} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}02}\)
Eksempel 3 — omskrivning FØR brugAfstand fra \(P(2,5)\) til linjen \(y = 3x - 1\)▼
1
Omskriv til normalform
\(y = 3x-1 \Rightarrow 3x - y - 1 = 0\)
\(y = 3x-1 \Rightarrow 3x - y - 1 = 0\)
2
Brug formlen med a=3, b=−1, c=−1
\(d = \dfrac{|3\cdot2 + (-1)\cdot5 + (-1)|}{\sqrt{9+1}} = \dfrac{|6-5-1|}{\sqrt{10}} = \dfrac{0}{\sqrt{10}}\)
\(d = \dfrac{|3\cdot2 + (-1)\cdot5 + (-1)|}{\sqrt{9+1}} = \dfrac{|6-5-1|}{\sqrt{10}} = \dfrac{0}{\sqrt{10}}\)
3
Afstand = 0 → P ligger PÅ linjen!
\(d = \textcolor{#ef4444}{0}\) Tjek: \(y = 3\cdot2-1 = 5\) ✓
\(d = \textcolor{#ef4444}{0}\) Tjek: \(y = 3\cdot2-1 = 5\) ✓
⚠️ Faldgrube: Linjen SKAL stå på formen \(ax+by+c=0\). Omskriv altid \(y=ax+b\) først!
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Formel: \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) — linjen skal stå på formen \(ax+by+c=0\)
- Omskriv linjen til normalform FØR du bruger formlen
- Absolutværdien sikrer at afstanden altid er positiv
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Linjen skal have formen \(ax+by+c=0\) — omskriv \(y=2x+3\) til \(-2x+y-3=0\)
- Glemmer absolutværdi i tælleren — afstand er altid \(\geq 0\)
- \(\sqrt{a^2+b^2}\) i nævneren — ikke \(a+b\) eller \(a^2+b^2\)