Linjer og skæring
Parameterfremstilling, skæringspunkt og parallelitet
Linjer i planen beskrives enten ved \(y = ax + b\) (hældning-skæring) eller ved \(ax + by + c = 0\) (normalform). Skæringspunkter mellem linjer findes ved at sætte ligningerne lig hinanden og løse.
Husk: \(b\) er y-aksens skæring (sæt \(x=0\)). Hældningen beregnes som \(a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — tæller er y-forskel, nævner er x-forskel.
Formler
Linjens ligning
\(y = ax+b\) eller \(ax+by+c=0\)
Parameterfremstilling
\(\binom{x}{y} = \binom{x_0}{y_0} + t\cdot\binom{r_1}{r_2}\)
Normalvektor
Til linjen \(ax+by+c=0\): \(\vec{n}=\binom{a}{b}\)
Eksempler
EksempelSkæring mellem \(y=2x+1\) og \(y=-x+7\)▼
1
Sæt lig hinanden
\(2x+1=-x+7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\)
\(2x+1=-x+7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\)
2
Find y
\(y=2\cdot 2+1=\textcolor{#ef4444}{5}\). Skæringspunkt: \(\textcolor{#ef4444}{(2,5)}\)
\(y=2\cdot 2+1=\textcolor{#ef4444}{5}\). Skæringspunkt: \(\textcolor{#ef4444}{(2,5)}\)
Eksempel 2Skæring mellem \(y=2x-1\) og \(y=-x+5\)▼
1
Sæt lig hinanden
\(2x-1 = -x+5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
\(2x-1 = -x+5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
2
Find y
\(y = 2\cdot 2-1 = \textcolor{#ef4444}{3}\)
\(y = 2\cdot 2-1 = \textcolor{#ef4444}{3}\)
3
Svar
Skæringspunkt: \((2, 3)\)
Skæringspunkt: \((2, 3)\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Hældning-skæring: \(y = ax+b\) — \(a\) er hældning, \(b\) er skæring med y-aksen
- To punkter: \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), derefter find \(b\) ved indsætning
- Parallelle linjer: samme hældning \(a\), forskellig \(b\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Forveksler hældning og skæringspunkt: \(b\) er y-aksens skæring (sæt \(x=0\))
- Hældningsformel: \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — tæller er y, nævner er x
- Lodrette linjer: \(x = k\) har INGEN hældning (udefineret)