Betinget sandsynlighed
P(A|B), inklusion-eksklusion og uafhængighed
Betinget sandsynlighed handler om at opdatere din viden: givet at vi ved B er sket — hvor sandsynligt er A så?
Inklusion-eksklusion bruges når to hændelser overlapper — uden at trække overlappet fra ville vi tælle det dobbelt.
Symboler
| Symbol | Udtales | Betyder |
|---|---|---|
| \(A \cup B\) | A union B | A eller B — mindst én af dem sker |
| \(A \cap B\) | A snit B | A og B — begge sker samtidig |
| \(P(A \mid B)\) | P af A givet B | Sandsynlighed for A, når vi ved at B er sket |
| \(\overline{A}\) | ikke A | Komplementet — A sker ikke. \(P(\overline{A})=1-P(A)\) |
Formler
Inklusion-eksklusion
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Trækker overlappet fra så det ikke tælles dobbelt
Betinget sandsynlighed
\(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Indskrænker udfaldsrummet til kun at kigge inden for B
Uafhængige hændelser
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Gælder kun når A og B ikke påvirker hinanden
Eksempler
Eksempel 1Find P(A∩B) via inklusion-eksklusion▼
\(P(A)=\frac{4}{11}\), \(P(B)=\frac{9}{11}\), \(P(A\cup B)=\frac{10}{11}\)
1
Opstil inklusion-eksklusion
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
2
Isolér P(A∩B)
\(P(A\cap B)=\frac{4}{11}+\frac{9}{11}-\frac{10}{11}=\textcolor{#ef4444}{\frac{3}{11}}\)
\(P(A\cap B)=\frac{4}{11}+\frac{9}{11}-\frac{10}{11}=\textcolor{#ef4444}{\frac{3}{11}}\)
Eksempel 2Find P(A|B) — to-trins metode▼
Fortsætter fra eksempel 1: \(P(A\cap B)=\frac{3}{11}\), \(P(B)=\frac{9}{11}\)
1
Brug betinget sandsynlighed
\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
2
Indsæt
\(P(A\mid B)=\dfrac{3/11}{9/11}=\dfrac{3}{9}=\textcolor{#ef4444}{\dfrac{1}{3}}\)
\(P(A\mid B)=\dfrac{3/11}{9/11}=\dfrac{3}{9}=\textcolor{#ef4444}{\dfrac{1}{3}}\)
Eksempel 3Er A og B uafhængige?▼
\(P(A)=\frac{1}{2}\), \(P(B)=\frac{1}{3}\), \(P(A\cap B)=\frac{1}{6}\)
1
Beregn P(A)·P(B)
\(P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)
\(P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)
2
Sammenlign med P(A∩B)
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\) ✓ — A og B er \(\textcolor{#ef4444}{\text{uafhængige}}\)
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\) ✓ — A og B er \(\textcolor{#ef4444}{\text{uafhængige}}\)
💡 Husk: \(P(A\mid B) \neq P(B\mid A)\) — rækkefølgen betyder noget! "Sandsynlighed for regn givet skyer" er ikke det samme som "sandsynlighed for skyer givet regn".
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Du får P(A), P(B) og P(A∪B) — find P(A|B): brug inklusion-eksklusion først, derefter betinget sandsynlighed
- "Givet at B er sket" → betinget sandsynlighed P(·|B)
- "Er de uafhængige?" → tjek om P(A∩B) = P(A)·P(B)
⚠️ Klassiske fejl
- Glemmer at trække P(A∩B) fra i inklusion-eksklusion
- Forveksler P(A|B) med P(B|A)
- Bruger gangereglen P(A)·P(B) når hændelserne IKKE er uafhængige