Vinkel mellem linjer
Find den spidse vinkel mellem to linjer
Vinklen mellem to linjer eller vektorer finder man med skalarproduktet. Absolutværdien i formlen sikrer at man altid får den spidse vinkel (mellem 0° og 90°).
Husk: \(\arccos\) på lommeregneren giver svar i radianer — omregn med \(\cdot\tfrac{180°}{\pi}\). Ortogonale linjer har skalarprodukt 0 og vinkel 90°.
Formler
Vinkel via normalvektorer
\(\cos v = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\)
Vinkel via hældninger
\(\tan v = \left|\dfrac{a_1-a_2}{1+a_1\cdot a_2}\right|\)
Eksempler
Eksempel\(l_1: 3x-y+2=0\) og \(l_2: x+2y-5=0\)▼
1
Normalvektorer
\(\vec{n}_1=\binom{3}{-1},\quad \vec{n}_2=\binom{1}{2}\)
\(\vec{n}_1=\binom{3}{-1},\quad \vec{n}_2=\binom{1}{2}\)
2
Beregn vinkel
\(\cos v = \frac{|3\cdot1+(-1)\cdot2|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \Rightarrow v = \textcolor{#ef4444}{81{,}9°}\)
\(\cos v = \frac{|3\cdot1+(-1)\cdot2|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \Rightarrow v = \textcolor{#ef4444}{81{,}9°}\)
Eksempel 2Vinkel mellem \(\vec{a}=\binom{3}{1}\) og \(\vec{b}=\binom{1}{4}\)▼
1
Skalarprodukt
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot1 + 1\cdot4 = 7\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot1 + 1\cdot4 = 7\)
2
Længder
\(|\vec{a}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{b}| = \sqrt{17}\)
\(|\vec{a}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{b}| = \sqrt{17}\)
3
Vinkel
\(\cos\theta = \dfrac{7}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{17}} \Rightarrow \theta \approx \textcolor{#ef4444}{57{,}5°}\)
\(\cos\theta = \dfrac{7}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{17}} \Rightarrow \theta \approx \textcolor{#ef4444}{57{,}5°}\)
💡 Tip: Brug absolut-værdi i tælleren for altid at få den spidse vinkel. Parallelle linjer har vinkel 0°, vinkelrette har 90°.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- \(\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) — resultatet er altid i \([0°,180°]\)
- Ortogonale vektorer: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \theta = 90°\)
- Vinkel mellem linjer: brug retningsvektorerne — vinkel mellem linjer er altid \(\leq 90°\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(\arccos\) giver vinkel i radianer på lommeregner — omregn: \(\cdot \dfrac{180°}{\pi}\)
- Glemmer at dividere med BEGGE vektorlængder i formlen
- Vinkel mellem linjer \(\neq\) vinkel mellem vektorer hvis resultatet er \(> 90°\)