Differentialligninger
Formel 177: y' = b − a·y → y = b/a + c·e−ax
En differentialligning beskriver sammenhængen mellem en funktion og dens afledte. På B-niveau møder du primært formel 177: y' = b − a·y, som modellerer vækst mod en øvre grænse.
Formel 177 — ligning og løsning
Differentialligning (formel 177)
\(y' = b - a\cdot y \;\Longrightarrow\; f(x) = \dfrac{b}{a} - c\cdot e^{-ax}\)
Svarer til y' = a·(b/a − y), så den øvre grænse er b/a
Vækstraten (afledte)
\(f'(x) = a\cdot c\cdot e^{-ax}\)
Bruges når opgaven spørger "hvornår vokser f med X enheder pr. år"
Symboler
| Symbol | Betyder |
|---|---|
| \(y'\) eller \(f'(x)\) | Den afledte — vækstraten |
| \(\dfrac{b}{a}\) | Øvre grænse — den maksimale værdi f nærmer sig asymptotisk |
| \(c\) | Integrationskonstant — bestemmes fra en begyndelsesbetingelse |
| \(a\) | Konstant — jo større, jo hurtigere nærmer f sig den øvre grænse |
Eksempler
Eksempel 1Bestem a og c fra to punkter (som opgave 13)▼
y' = a·(85−y), f(3)=13 og f(10)=29,8. Øvre grænse = 85 = b/a. Løsning: \(f(x)=85-c\cdot e^{-ax}\)
1
To ligninger
\(85-13=c\cdot e^{-3a}\) og \(85-29{,}8=c\cdot e^{-10a}\)
\(85-13=c\cdot e^{-3a}\) og \(85-29{,}8=c\cdot e^{-10a}\)
2
Divider — eliminér c
\(\dfrac{72}{55{,}2}=e^{7a} \Rightarrow a=\dfrac{\ln(72/55{,}2)}{7}\approx 0{,}038\)
\(\dfrac{72}{55{,}2}=e^{7a} \Rightarrow a=\dfrac{\ln(72/55{,}2)}{7}\approx 0{,}038\)
3
Find c
\(c=72\cdot e^{3\cdot0{,}038}\approx\textcolor{#ef4444}{80{,}6}\)
\(c=72\cdot e^{3\cdot0{,}038}\approx\textcolor{#ef4444}{80{,}6}\)
Eksempel 2Find x når f vokser med 2,5 pr. år▼
f'(x) = a·c·e^{-ax} = 2,5
1
Opstil ligning
\(0{,}038\cdot 80{,}6\cdot e^{-0{,}038x}=2{,}5\)
\(0{,}038\cdot 80{,}6\cdot e^{-0{,}038x}=2{,}5\)
2
Isolér e-leddet og tag ln
\(e^{-0{,}038x}=\dfrac{2{,}5}{3{,}06} \Rightarrow x=\dfrac{-\ln(...)}{0{,}038}\approx\textcolor{#ef4444}{5{,}5}\text{ år}\)
\(e^{-0{,}038x}=\dfrac{2{,}5}{3{,}06} \Rightarrow x=\dfrac{-\ln(...)}{0{,}038}\approx\textcolor{#ef4444}{5{,}5}\text{ år}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Du får y' = a·(b/a−y) og to punkter → find a og c ved at dividere to ligninger
- "Hvornår vokser f med X pr. år" → sæt f'(x) = X og løs med logaritmer
- Verificér: indsæt f(x) i differentialligningen og tjek begge sider er ens
⚠️ Klassiske fejl
- Divider ligningerne for at eliminere c — træk dem ikke fra hinanden
- Sæt f'(x) = vækstrate, ikke f(x) = vækstrate
- Husk: b/a − y₁ og b/a − y₂ sættes lig c·e^{...}