Differentiering
Find den afledte funktion f′(x) — Mat B-niveau
Den afledte f′(x) beskriver hældningen af grafen i hvert punkt — altså med hvilken hastighed funktionen ændrer sig. Det er fundamentet for monotoniforhold, ekstrema og tangentligninger.
På B-niveau bruger du primært potensreglen, e-funktionen, ln og kædereglen. Kædereglen gælder, når der er noget inde i noget — fx \(e^{g(x)}\) eller \(\ln(g(x))\).
Husk: brøker og rødder omskrives til potensform FØR differentiering — \(\tfrac{1}{x} = x^{-1}\) og \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\).
Formler
Potensreglen
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[a \cdot x^{n}\bigr] = a \cdot n \cdot x^{n-1}\)
Konstant gange funktion
\((k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x)\)
Sum
\((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
Eksponentialfunktion
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[e^{kx}\bigr] = k \cdot e^{kx}\)
Eksempler
Eksempel 1Potensreglen: \(f(x) = 4x^3 - 2x + 7\)▼
1
Differentier led for led
\(f'(x) = 4\cdot 3\cdot x^{2} - 2\cdot 1 + 0 = \textcolor{#ef4444}{12x^2 - 2}\)
\(f'(x) = 4\cdot 3\cdot x^{2} - 2\cdot 1 + 0 = \textcolor{#ef4444}{12x^2 - 2}\)
Eksempel 2\(f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}\)▼
1
Omskriv og brug potensreglen
\(f'(x) = -1\cdot x^{-2} = \textcolor{#ef4444}{-\frac{1}{x^2}}\)
\(f'(x) = -1\cdot x^{-2} = \textcolor{#ef4444}{-\frac{1}{x^2}}\)
Eksempel 3\(f(x) = \ln(3x^2+1)\)▼
1
Identificér ydre og indre funktion
Ydre: \(\ln(u)\), indre: \(g(x)=3x^2+1\)
Ydre: \(\ln(u)\), indre: \(g(x)=3x^2+1\)
2
Differentier kædereglen
\(f\'(x) = \dfrac{g\'(x)}{g(x)} = \dfrac{6x}{3x^2+1}\)
\(f\'(x) = \dfrac{g\'(x)}{g(x)} = \dfrac{6x}{3x^2+1}\)
Eksempel 4Produktregel: \(f(x) = x^2 \cdot e^{2x}\)▼
1
Navngiv u og v
\(u = x^2,\ u\'=2x\) \(v = e^{2x},\ v\'=2e^{2x}\)
\(u = x^2,\ u\'=2x\) \(v = e^{2x},\ v\'=2e^{2x}\)
2
\((uv)\' = u\'v + uv\'\)
\(f\'(x) = 2x\cdot e^{2x} + x^2\cdot 2e^{2x} = \textcolor{#ef4444}{2xe^{2x}(1+x)}\)
\(f\'(x) = 2x\cdot e^{2x} + x^2\cdot 2e^{2x} = \textcolor{#ef4444}{2xe^{2x}(1+x)}\)
💡 Huskeregel: Konstanter forsvinder, og \(x\) differentieret giver 1. Husk at omskrive brøker og rødder til potenser først.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Kædereglen: når du ser \(e^{g(x)}\), \(\ln(g(x))\), \(\sin(g(x))\) eller \((g(x))^n\)
- Produktregel: to funktioner ganget sammen — \(u(x) \cdot v(x)\)
- Simple tilfælde: \(ax^n\), \(ae^{bx}\), \(a\sin(bx)\) — brug direkte formler
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glemmer den indre afledte: \((\sin(3x))\' = 3\cos(3x)\), ikke bare \(\cos(3x)\)
- \((\cos u)\' = -\sin(u) \cdot u\'\) — husk minustegnet!
- \((\ln(g))\' = \frac{g\'}{g}\) — tælleren er \(g\'(x)\), ikke 1