Funktioner af to variable
Snitfunktioner, partielle afledte og diskriminantanalyse
En funktion af to variable, f(x, y), tager to input og giver ét output. En snitfunktion fixer den ene variabel (fx y = k) og ser på resten som en funktion af x alene.
Symboler og begreber
| Begreb | Hvad det betyder |
|---|---|
| \(f(x, k)\) | Snitfunktion — y er låst til konstanten k |
| \(f_x\) | Partiel afledt mht. x — differentier og behandl y som konstant |
| \(f_y\) | Partiel afledt mht. y — differentier og behandl x som konstant |
| \(d = b^2 - 4ac\) | Diskriminant for snitfunktionen som andengradsligning i x |
Eksempler
Eksempel 1Find snitfunktion (som opgave 15)▼
\(f(x,y) = x^2 - xy - 2y + 5\). Sæt y = k.
1
Indsæt y = k overalt
\(f(x,k) = x^2 - xk - 2k + 5\)
\(f(x,k) = x^2 - xk - 2k + 5\)
2
Type
Andengradspolynomium i x med \(a=1, b=-k, c=5-2k\)
Andengradspolynomium i x med \(a=1, b=-k, c=5-2k\)
Eksempel 2Netop én løsning — diskriminant = 0▼
\(f(x,k)=0\) har netop én løsning ⟺ \(d = 0\)
1
Opstil diskriminanten [formel]
\(d = (-k)^2 - 4\cdot1\cdot(5-2k) = k^2+8k-20\)
\(d = (-k)^2 - 4\cdot1\cdot(5-2k) = k^2+8k-20\)
2
Sæt d = 0
\(k^2+8k-20=0 \Rightarrow k=\textcolor{#ef4444}{2}\text{ eller }k=\textcolor{#ef4444}{-10}\)
\(k^2+8k-20=0 \Rightarrow k=\textcolor{#ef4444}{2}\text{ eller }k=\textcolor{#ef4444}{-10}\)
Eksempel 3Partielle afledte▼
\(f(x,y) = x^2 - xy - 2y + 5\)
1
\(f_x\) — y er konstant
\(f_x = 2x - y\)
\(f_x = 2x - y\)
2
\(f_y\) — x er konstant
\(f_y = -x - 2\)
\(f_y = -x - 2\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- "Betragt snitfunktionen f(x, k)" → indsæt y = k og omskriv til polynomium i x
- "Netop én løsning" → diskriminant d = 0
- "Ingen løsninger" → d < 0 | "Mindst én løsning" → d ≥ 0
- Stationært punkt → løs f_x = 0 og f_y = 0 simultant (CAS)
⚠️ Klassiske fejl
- Glemmer at k er en konstant i snitfunktionen — behandl det som et tal
- Forveksler d = 0 (netop én) med d > 0 (to løsninger)
- Ved partielle afledte: husk at det led der IKKE indeholder den variabel du diff. mht., forsvinder