Eksponentiel vækst
\(f(x)=b\cdot a^x\) — fremskrivningsfaktor, fordoblingstid og halveringstid
Eksponentiel vækst bruges, når noget vokser (eller aftager) med en fast procent pr. tidsenhed. Grafen er en kurve — ikke en ret linje.
Forskellen på lineær og eksponentiel: Lineær lægger det samme til igen og igen (+100 kr./år). Eksponentiel ganger med det samme tal igen og igen (×1,05 hvert år). Eksponentiel vækst accelererer — lineær vækst gør ikke.
Fremskrivningsfaktoren er altid \(a = 1 + r\) — aldrig \(r\) alene. 5% vækst: \(a = 1{,}05\).
Formler
Eksponentiel funktion
\(f(x) = b \cdot a^x\), hvor \(b=f(0)\) og \(a > 0\)
Vækstrate
\(r = a-1\) (vækst når \(a>1\), henfald når \(0
Fordoblingstid
\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln a}\)
Halveringstid
\(T_{1/2} = \dfrac{\ln\frac{1}{2}}{\ln a} = \dfrac{-\ln 2}{\ln a}\)
Eksempler
EksempelEn bakteriekoloni vokser 15% pr. time fra 200▼
1
Opstil forskrift
\(b=200,\; r=0{,}15 \Rightarrow a=1{,}15\)
\(f(x) = 200\cdot 1{,}15^x\)
\(b=200,\; r=0{,}15 \Rightarrow a=1{,}15\)
\(f(x) = 200\cdot 1{,}15^x\)
2
Fordoblingstid
\(T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}15} = \frac{0{,}693}{0{,}140} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}96\text{ timer}}\)
\(T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}15} = \frac{0{,}693}{0{,}140} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}96\text{ timer}}\)
Eksempel 2Eksponentiel model \(f(t)=b\cdot a^t\). Find a og b fra \(f(0)=500\) og \(f(3)=4000\)▼
1
Find b fra \(f(0)\)
\(b = f(0) = 500\)
\(b = f(0) = 500\)
2
Find a fra \(f(3)\)
\(4000 = 500 \cdot a^3 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2\)
\(4000 = 500 \cdot a^3 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2\)
3
Forskriften
\(f(t) = 500 \cdot \textcolor{#ef4444}{2^t}\)
\(f(t) = 500 \cdot \textcolor{#ef4444}{2^t}\)
Eksempel 3 — henfaldEt stof nedbrydes med 8% pr. time. Start: 500 g. Find halveringstid.▼
1
Opstil forskrift
\(a = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\) \(f(t) = 500\cdot 0{,}92^t\)
\(a = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\) \(f(t) = 500\cdot 0{,}92^t\)
2
Halveringstid
\(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{-\ln 0{,}92} = \dfrac{0{,}693}{0{,}0834} \approx \textcolor{#ef4444}{8{,}3 \text{ timer}}\)
\(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{-\ln 0{,}92} = \dfrac{0{,}693}{0{,}0834} \approx \textcolor{#ef4444}{8{,}3 \text{ timer}}\)
⚠️ Faldgrube: 15% vækst → \(a = 1{,}15\), ikke \(0{,}15\). Fremskrivningsfaktoren er altid \(1 + r\).
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- \(f(x) = b \cdot a^x\): \(b\) er startværdien (\(f(0)\)), \(a\) er vækstfaktoren
- Fordoblings-/halveringskonstant: løs \(a^T = 2\) (fordobling) for T
- Procent-vækst: vækstrate \(r = a - 1\) — f.eks. \(a=1{,}05 \Rightarrow 5\%\) vækst pr. enhed
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(a = 1 + r\) — husk at \(a\) er vækstfaktoren, ikke selve procenten
- Startværdi er \(f(0) = b \cdot a^0 = b\) — \(a^0 = 1\) altid
- \(\ln(a^t) = t \cdot \ln(a)\) — potensen rykker ned som faktor ved logaritmering
Træn Eksponentiel vækst med uendelige opgaver
Opgaverne genereres med nye tal hver gang, og du får øjeblikkelig feedback med trin-for-trin-forklaringer. Gratis at prøve.
Træn Eksponentiel vækst →