Konfidensinterval
Estimér en ukendt parameter med et interval
Et konfidensinterval giver en interval, der med en given sandsynlighed (konfidensniveauet) indeholder den sande populationsparameter. Det udtrykker usikkerheden på en stikprøveestimator.
Fortolkning af 95%-interval: Hvis vi gentog stikprøven mange gange og beregnede intervallet hver gang, ville 95% af intervallerne indeholde den sande parameter \(\mu\).
Større stikprøve \(n\) → smallere interval (mere præcist). Bredden afhænger af \(n\) og \(\hat{p}\) — ikke af populationsstørrelsen.
Formler
Konfidensinterval for andel p
\(\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)
95%-interval (\(z=1{,}96\))
\(\hat{p} \pm 1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)
Eksempler
Eksempel120 ud af 400 svarer ja (\(\hat{p}=0{,}30\))▼
1
Beregn usikkerhed
\(1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}30\cdot 0{,}70}{400}} = 1{,}96\cdot 0{,}0229 = 0{,}045\)
\(1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}30\cdot 0{,}70}{400}} = 1{,}96\cdot 0{,}0229 = 0{,}045\)
2
Interval
\(0{,}30 \pm 0{,}045 \Rightarrow \textcolor{#ef4444}{[0{,}255;\; 0{,}345]}\)
\(0{,}30 \pm 0{,}045 \Rightarrow \textcolor{#ef4444}{[0{,}255;\; 0{,}345]}\)
Eksempel 295%-konfidensinterval. \(n=100\), \(\bar{x}=47{,}2\), \(s=8{,}3\)▼
1
Standardfejl
\(SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{8{,}3}{\sqrt{100}} = 0{,}83\)
\(SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{8{,}3}{\sqrt{100}} = 0{,}83\)
2
Interval
\(\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot SE = 47{,}2 \pm 1{,}63\)
\(\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot SE = 47{,}2 \pm 1{,}63\)
3
Svar
\([\textcolor{#ef4444}{45{,}6};\; 48{,}8]\)
\([\textcolor{#ef4444}{45{,}6};\; 48{,}8]\)
Eksempel 3 — 99% intervalSamme data: \(\hat{p}=0{,}30\), \(n=400\). Beregn 99%-KI.▼
1
z-værdi for 99%: z = 2,576
\(2{,}576 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}30\cdot0{,}70}{400}} = 2{,}576\cdot0{,}0229 = 0{,}059\)
\(2{,}576 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}30\cdot0{,}70}{400}} = 2{,}576\cdot0{,}0229 = 0{,}059\)
2
99%-KI er bredere end 95%-KI
\([0{,}241;\;0{,}359]\) Højere konfidensniveau → bredere interval
\([0{,}241;\;0{,}359]\) Højere konfidensniveau → bredere interval
💡 Fortolkning: Vi er 95% sikre på at den sande andel ligger i intervallet. Større stikprøve → smallere interval.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- 95%-interval: \(\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}\)
- Større stikprøve \(n\) → smallere interval (mere præcis)
- Fortolkning: vi er 95% sikre på at \(\mu\) ligger i intervallet
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(1{,}96\) er z-værdien for 95% — for 99% bruges \(2{,}576\)
- Divider med \(\sqrt{n}\) — ikke \(n\)
- Konfidensinterval handler om middelværdien \(\mu\), ikke en enkelt observation