Andengradspolynomium
\(f(x)=ax^2+bx+c\) — toppunkt, rødder og diskriminant
Et andengradspolynomium \(f(x) = ax^2 + bx + c\) har en parabolsk graf — den åbner opad hvis \(a > 0\), nedad hvis \(a < 0\).
Diskriminanten \(d = b^2-4ac\) fortæller alt om rødderne: to (\(d>0\)), én (\(d=0\)) eller ingen reelle rødder (\(d<0\)). Toppunktet er symmetriaksen \(x_T = -b/(2a)\) — og det er altid midtvejs mellem de to rødder.
Husk: \(-b\) i røddernes formel, ikke \(b\). Og begge led i tælleren divideres med \(2a\).
a = åbning
b = hældning
c = skæring
Formler
Diskriminant
\(d = b^2 - 4ac\)
Rødder
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\)
Toppunkt
\(T = \left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{d}{4a}\right)\)
Eksempler
Eksempel\(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\)▼
1
Diskriminant
\(d = (-8)^2 - 4\cdot 2\cdot 6 = 64-48 = \textcolor{#3b82f6}{16}\)
\(d = (-8)^2 - 4\cdot 2\cdot 6 = 64-48 = \textcolor{#3b82f6}{16}\)
2
Rødder
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}\)
\(x_1 = \textcolor{#10b981}{3},\quad x_2 = \textcolor{#10b981}{1}\)
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}\)
\(x_1 = \textcolor{#10b981}{3},\quad x_2 = \textcolor{#10b981}{1}\)
3
Toppunkt
\(T_x = -\frac{-8}{2\cdot2} = 2,\quad T_y = -\frac{16}{8} = -2\)
Toppunkt: \(\textcolor{#ef4444}{(2,\,-2)}\)
\(T_x = -\frac{-8}{2\cdot2} = 2,\quad T_y = -\frac{16}{8} = -2\)
Toppunkt: \(\textcolor{#ef4444}{(2,\,-2)}\)
Eksempel 2Skæring med x-aksen for \(f(x) = 2x^2+3x-5\)▼
1
Beregn diskriminanten
\(d = 3^2 - 4\cdot2\cdot(-5) = 9+40 = 49\)
\(d = 3^2 - 4\cdot2\cdot(-5) = 9+40 = 49\)
2
Find rødderne
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \dfrac{-3 \pm 7}{4}\)
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \dfrac{-3 \pm 7}{4}\)
3
De to løsninger
\(x_1 = 1\) og \(x_2 = \textcolor{#ef4444}{-2{,}5}\)
\(x_1 = 1\) og \(x_2 = \textcolor{#ef4444}{-2{,}5}\)
Eksempel 3Antal løsninger: \(f(x) = x^2 + 2x + 5\)▼
1
Beregn diskriminanten
\(d = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16\)
\(d = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16\)
2
\(d < 0\): ingen reelle rødder
Grafen skærer ikke x-aksen. Parabel åbner opad (a=1>0) og ligger helt over x-aksen.
Grafen skærer ikke x-aksen. Parabel åbner opad (a=1>0) og ligger helt over x-aksen.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Diskriminant: \(d > 0\) giver 2 rødder, \(d = 0\) giver 1 rod, \(d < 0\) ingen reelle
- Toppunkt: \(x_T = -\dfrac{b}{2a}\), indsæt for at finde \(y_T\)
- Antal løsninger: brug tegnet på \(d\) — ingen beregning nødvendig
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Tegn i formlen: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\) — husk \(-b\), ikke \(b\)
- Dividerer kun deler af tælleren: \(\dfrac{-b + \sqrt{d}}{2a}\) — begge led deles med \(2a\)
- Glemmer at \(a\) er koefficienten foran \(x^2\) — tjek at ligningen starter med \(ax^2\)