Optimering
Find det bedste — maksimer eller minimér med differentialregning
Optimering handler om at finde det x der maksimerer eller minimerer en funktion. Teknikken er differentialregning: stationære punkter (\(f'(x)=0\)) er kandidater til ekstrema.
Strategien ved tekstopgaver: opstil en funktion for det der skal optimeres → brug en bibetingelse til at reducere til ét variabel → differentier og sæt lig 0 → verificer med fortegnsskema → giv svaret i konteksten.
Glem ikke at tjekke endepunkterne, hvis domænet er et lukket interval.
Fremgangsmåde
Trin 1
Opstil en funktion \(f(x)\) der beskriver det, du vil optimere
Trin 2
Differentier: \(f'(x) = 0\) → find stationære punkter
Trin 3
Lav fortegnsskema for at verificere maks/min
Eksempler
EksempelRektangel med omkreds 20 — maksimalt areal▼
1
Opstil
\(2x+2y=20 \Rightarrow y=10-x\)
\(A(x) = x(10-x) = 10x-x^2\)
\(2x+2y=20 \Rightarrow y=10-x\)
\(A(x) = x(10-x) = 10x-x^2\)
2
Differentier
\(A'(x)=10-2x=0 \Rightarrow x=5\)
\(A'(x)=10-2x=0 \Rightarrow x=5\)
3
Svar
\(A(5) = 5\cdot 5 = \textcolor{#ef4444}{25}\). Maksimalt areal er et kvadrat med sidelængde 5.
\(A(5) = 5\cdot 5 = \textcolor{#ef4444}{25}\). Maksimalt areal er et kvadrat med sidelængde 5.
Eksempel 2Rektangel med omkredsindskrænkning \(2x+2y=20\). Maks areal?▼
1
Udtryk y ved x
\(y = 10-x\)
\(y = 10-x\)
2
Arealet
\(A(x) = x(10-x) = 10x - x^2\)
\(A(x) = x(10-x) = 10x - x^2\)
3
Differentier og sæt lig 0
\(A\'(x) = 10-2x = 0 \Rightarrow x = 5\)
\(A\'(x) = 10-2x = 0 \Rightarrow x = 5\)
4
Svar
\(A_{\max} = 5\cdot 5 = \textcolor{#ef4444}{25}\)
\(A_{\max} = 5\cdot 5 = \textcolor{#ef4444}{25}\)
Eksempel 3 — med murEn bonde indhegner et rektangel ved en mur. 100 m hegn. Muren er én side. Maks areal?▼
1
Kun 3 sider med hegn — muren er gratis
\(x + x + l = 100 \Rightarrow l = 100 - 2x\)
\(x + x + l = 100 \Rightarrow l = 100 - 2x\)
2
Arealfunktion
\(A(x) = x\cdot(100-2x) = 100x - 2x^2\)
\(A(x) = x\cdot(100-2x) = 100x - 2x^2\)
3
Differentier og sæt lig 0
\(A\'(x) = 100-4x = 0 \Rightarrow x = 25\)
\(A_{\max} = 25\cdot50 = \textcolor{#ef4444}{1250 \text{ m}^2}\)
\(A\'(x) = 100-4x = 0 \Rightarrow x = 25\)
\(A_{\max} = 25\cdot50 = \textcolor{#ef4444}{1250 \text{ m}^2}\)
⚠️ Faldgrube: Glem ikke at tjekke at det stationære punkt faktisk er et maksimum og ikke et minimum (brug fortegnsskema).
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opstil en funktion for det der skal optimeres (maks/min)
- Brug en bibetingelse til at reducere til ét variabel
- Find kritisk punkt ved \(f\'(x) = 0\), bekræft maks/min med fortegnskema
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glemmer at definere domænet — hvad er de gyldige værdier af x?
- Kritisk punkt kan være minimum i stedet for maksimum — tjek med fortegnskema
- Indsæt x tilbage for at finde den optimale y-værdi og svaret