Kombinatorik
Permutationer, kombinationer og multiplikationsprincippet
Kombinatorik handler om at tælle struktureret. Det afgørende spørgsmål er: Har rækkefølgen betydning?
- Ja → Permutation: 1., 2., 3. plads, PIN-kode, anagram
- Nej → Kombination: komité, hold, korthand, lotterital
Med betingelse ("X skal altid med"): fastlæg X og vælg de resterende fra den reducerede pulje.
Formler
Multiplikationsprincippet
Antal muligheder = \(n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k\)
Permutation (ordnet udvalg)
\(P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
Kombination (uordnet udvalg)
\(K(n,r) = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
Eksempler
EksempelVælg 3 elever fra en klasse på 25▼
1
Rækkefølgen er ligegyldig → kombination
\(\binom{25}{3} = \frac{25!}{3!\cdot 22!} = \frac{25\cdot24\cdot23}{3\cdot2\cdot1} = \textcolor{#ef4444}{2300}\)
\(\binom{25}{3} = \frac{25!}{3!\cdot 22!} = \frac{25\cdot24\cdot23}{3\cdot2\cdot1} = \textcolor{#ef4444}{2300}\)
Eksempel 2Permutation: 8 løbere — podiet (1., 2., 3.)▼
1
Rækkefølgen betyder noget → permutation
\(P(8,3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = \textcolor{#ef4444}{336}\)
\(P(8,3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = \textcolor{#ef4444}{336}\)
Eksempel 3 — betingelseVælg 4 fra 10, men 2 bestemte skal ALTID med.▼
1
De 2 er fastlagte — vælg de resterende 2 fra de 8 andre
\(\binom{8}{2} = \dfrac{8\cdot7}{2\cdot1} = \textcolor{#ef4444}{28}\)
\(\binom{8}{2} = \dfrac{8\cdot7}{2\cdot1} = \textcolor{#ef4444}{28}\)
💡 Tip: Spørg dig selv: "Er rækkefølgen vigtig?" Ja → permutation. Nej → kombination.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Kombination \(\binom{n}{k}\): rækkefølgen er LIGEGYLDIG — "vælg k ud af n"
- Permutation \(P(n,k)\): rækkefølgen BETYDER noget — "k pladser ud af n"
- Betingelse: X skal altid med → vælg de resterende fra \(n-1\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Bruger permutation når rækkefølgen er ligegyldig — giver for stort svar
- \(\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35\) — vælg altid den mindste k for nemmere beregning
- Glemmer at dividere med \(k!\) i kombinationsformlen