Monotoniforhold og ekstrema
Find hvor funktionen er voksende/aftagende og bestem ekstrema
Monotoniforhold handler om, hvornår funktionen vokser og hvornår den aftager. Svaret findes ved at analysere fortegnet på den afledte.
Fremgangsmåde: differentier → find nulpunkter for \(f'(x)\) → lav fortegnsskema med alle nulpunkter → aflæs voksende/aftagende og ekstrema.
Vigtig detalje: et nulpunkt for \(f'(x)\) er IKKE altid et ekstrema — det kan være et vendetangentpunkt, hvis \(f'\) ikke skifter fortegn.
Formler
Voksende/aftagende
\(f'(x)>0 \Rightarrow f\) voksende. \(f'(x)<0 \Rightarrow f\) aftagende.
Stationære punkter
Løs \(f'(x) = 0\)
Maksimum/minimum
Fortegnsskifte i \(f'(x)\): \(+\to-\) = maks, \(-\to+\) = min
Eksempler
Eksempel\(f(x) = x^3 - 3x\)▼
1
Differentier
\(f'(x) = 3x^2-3\)
\(f'(x) = 3x^2-3\)
2
Løs \(f'(x)=0\)
\(3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=-1\) eller \(x=1\)
\(3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=-1\) eller \(x=1\)
3
Fortegnsskema
\(f'(x)>0\) for \(x<-1\) og \(x>1\), \(f'(x)<0\) for \(-1Lokal maks i \(\textcolor{#ef4444}{(-1,2)}\), lokal min i \(\textcolor{#ef4444}{(1,-2)}\)
\(f'(x)>0\) for \(x<-1\) og \(x>1\), \(f'(x)<0\) for \(-1
Eksempel 2Monotoni for \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)▼
1
Find den afledte
\(f\'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)\)
\(f\'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)\)
2
Find nulpunkter
\(f\'(x) = 0 \Rightarrow x = 3\) og \(x = -1\)
\(f\'(x) = 0 \Rightarrow x = 3\) og \(x = -1\)
3
Fortegnsanalyse
Voksende: \((-\infty,-1)\) og \((3,\infty)\). Aftagende: \((-1,3)\)
Voksende: \((-\infty,-1)\) og \((3,\infty)\). Aftagende: \((-1,3)\)
Eksempel 3 — fortegnsskemaOpstil fortegnsskema for \(f\'(x) = 3(x-3)(x+1)\)▼
1
Nulpunkter for f': x = −1 og x = 3
Del tallinjen op: \((-\infty,-1)\), \((-1,3)\), \((3,\infty)\)
Del tallinjen op: \((-\infty,-1)\), \((-1,3)\), \((3,\infty)\)
2
Bestem fortegn i hvert interval
Testpunkt \(x=-2\): \(3(-5)(-1) = +15 > 0\) → voksende
Testpunkt \(x=0\): \(3(-3)(1) = -9 < 0\) → aftagende
Testpunkt \(x=4\): \(3(1)(5) = +15 > 0\) → voksende
Testpunkt \(x=-2\): \(3(-5)(-1) = +15 > 0\) → voksende
Testpunkt \(x=0\): \(3(-3)(1) = -9 < 0\) → aftagende
Testpunkt \(x=4\): \(3(1)(5) = +15 > 0\) → voksende
3
Konklusion
Lokal maks ved \(x=-1\) (+ → −) Lokal min ved \(x=3\) (− → +)
Lokal maks ved \(x=-1\) (+ → −) Lokal min ved \(x=3\) (− → +)
💡 Tip: Lav altid et fortegnsskema — det giver overblik og viser monotoniforholdene tydeligt.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Voksende: \(f\'(x) > 0\), aftagende: \(f\'(x) < 0\), stationært: \(f\'(x) = 0\)
- Opstil fortegnsskema med alle nulpunkter for \(f\'(x)\)
- Lokalt maks/min: fortegnet på \(f\'\) skifter fra +/− til −/+
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Forveksler voksende/aftagende: voksende = \(f\' > 0\), aftagende = \(f\' < 0\)
- Glemmer at inkludere endepunkterne i monotoniintervallerne
- Nulpunkt for \(f\'\) er IKKE altid et ekstrema — det kan være et vendetangentpunkt