Tangentligning
Find tangentlinjen til en graf i et givet punkt
En tangent er den bedste lineære approksimation af kurven i et punkt. Den rører kurven i præcis ét punkt og har samme hældning som kurven der.
Du skal bruge to ting: hældningen \(f'(x_0)\) og punktet \((x_0, f(x_0))\). Indsæt begge i punkt-hældningsformlen \(y = f'(x_0)\cdot(x-x_0) + f(x_0)\).
Formler
Tangentligning i \((x_0, f(x_0))\)
\(y = f'(x_0)\cdot(x - x_0) + f(x_0)\)
Eksempler
EksempelTangent til \(f(x)=x^2+1\) i \(x_0=2\)▼
1
Find \(f(x_0)\) og \(f'(x_0)\)
\(f(2) = 4+1 = 5\)
\(f'(x)=2x \Rightarrow f'(2)=4\)
\(f(2) = 4+1 = 5\)
\(f'(x)=2x \Rightarrow f'(2)=4\)
2
Indsæt i formlen
\(y = 4(x-2)+5 = \textcolor{#ef4444}{4x-3}\)
\(y = 4(x-2)+5 = \textcolor{#ef4444}{4x-3}\)
Eksempel 2Tangent til \(f(x) = \sqrt{x}\) i punktet \((4, 2)\)▼
1
Find hældningen
\(f\'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f\'(4) = \dfrac{1}{4}\)
\(f\'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f\'(4) = \dfrac{1}{4}\)
2
Tangentligningen
\(y - 2 = \dfrac{1}{4}(x-4) \Rightarrow y = \dfrac{1}{4}x + \textcolor{#ef4444}{1}\)
\(y - 2 = \dfrac{1}{4}(x-4) \Rightarrow y = \dfrac{1}{4}x + \textcolor{#ef4444}{1}\)
Eksempel 3 — horisontal tangentFind x-koordinat for horisontal tangent til \(f(x) = x^3 - 3x\)▼
1
Horisontal tangent: hældning = 0 → sæt f′(x) = 0
\(f\'(x) = 3x^2-3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
\(f\'(x) = 3x^2-3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
2
To horisontale tangenter
Ved \(x=-1\): tangent i \((-1, 2)\) Ved \(x=1\): tangent i \(\textcolor{#ef4444}{(1,-2)}\)
Ved \(x=-1\): tangent i \((-1, 2)\) Ved \(x=1\): tangent i \(\textcolor{#ef4444}{(1,-2)}\)
⚠️ Faldgrube: Husk at \(x_0\) er røringspunktet, ikke et vilkårligt punkt. Du skal kende det specifikke \(x_0\).
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Tangent i punkt \((x_0, f(x_0))\): \(y = f\'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)\)
- Horisontal tangent: sæt \(f\'(x) = 0\) og løs
- To kurver med fælles tangent: sæt funktionsværdier og afledte lig hinanden
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glemmer at beregne \(f(x_0)\) — punktet på grafen skal med i formlen
- Bruger \(f(x)\) i stedet for \(f\'(x)\) som hældning
- Tangent ≠ sekant — tangenten rører kurven i ét punkt, sekanten skærer i to