Sandsynlighedsfordeling
Diskrete fordelinger — sandsynligheder, middelværdi og varians
En diskret sandsynlighedsfordeling beskriver en stokastisk variabel ved at angive sandsynligheden for hvert muligt udfald. Alle sandsynligheder skal summere til præcis 1.
Middelværdien \(\mu = E(X)\) er det forventede gennemsnit over mange gentagelser — det behøver ikke selv at være et muligt udfald (fx er terningens middelværdi 3,5).
Husk: \(P(A|B) \neq P(B|A)\) — rækkefølgen i betinget sandsynlighed betyder noget!
Formler
Sandsynlighedskrav
\(\sum P(X=x_i) = 1 \quad\text{og}\quad 0 \leq P(X=x_i) \leq 1\)
Middelværdi
\(\mu = E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
Varians
\(\sigma^2 = \sum (x_i-\mu)^2 \cdot P(X=x_i)\)
Eksempler
EksempelTerning med P(1)=P(2)=...=P(6)=1/6▼
1
Middelværdi
\(\mu = 1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+\ldots+6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \textcolor{#ef4444}{3{,}5}\)
\(\mu = 1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+\ldots+6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \textcolor{#ef4444}{3{,}5}\)
Eksempel 2Betinget sandsynlighed. \(P(A)=0{,}4\), \(P(B|A)=0{,}3\), find \(P(A\cap B)\)▼
1
Brug definitionen
\(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
\(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
2
Isolér
\(P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = \textcolor{#ef4444}{0{,}12}\)
\(P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = \textcolor{#ef4444}{0{,}12}\)
Eksempel 3 — total sandsynlighed\(P(A)=0{,}6\), \(P(B|A)=0{,}3\), \(P(B|\overline{A})=0{,}1\). Find \(P(B)\).▼
1
Brug totalsandsynlighed — to veje til B
\(P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|\overline{A})\cdot P(\overline{A})\)
\(P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|\overline{A})\cdot P(\overline{A})\)
2
Indsæt: \(P(\overline{A}) = 1-0{,}6 = 0{,}4\)
\(P(B) = 0{,}3\cdot0{,}6 + 0{,}1\cdot0{,}4 = 0{,}18 + 0{,}04\)
\(P(B) = 0{,}3\cdot0{,}6 + 0{,}1\cdot0{,}4 = 0{,}18 + 0{,}04\)
3
Svar
\(P(B) = \textcolor{#ef4444}{0{,}22}\)
\(P(B) = \textcolor{#ef4444}{0{,}22}\)
💡 Tip: Middelværdien er det forventede gennemsnit ved mange gentagelser. Den behøver ikke være en mulig værdi.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Betinget: "givet at A er sket" — brug \(P(B|A) = P(A\cap B) / P(A)\)
- Uafhængige hændelser: \(P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
- Total sandsynlighed: \(P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|\overline{A})\cdot P(\overline{A})\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(P(A|B) \neq P(B|A)\) — rækkefølgen i betinget sandsynlighed betyder noget!
- Komplementet: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) — ikke \(P(A) - 1\)
- Summere sandsynligheder der ikke er disjunkte uden at trække \(P(A\cap B)\) fra