Algebra
Regn med parenteser, kvadratsætninger og brøker
Algebra er "sproget" i matematik — evnen til at forenkle og omskrive udtryk. Det bruges som grundlag i alle andre emner: differentiering, ligninger, og areal.
De tre kvadratsætninger er fundamentale. Vær særlig opmærksom på den første: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) — midtleddet \(2ab\) glemmes meget hyppigt.
I brøker kan du kun forkorte faktorer — aldrig adderede led. \(\tfrac{x+3}{x} \neq 3\), men \(\tfrac{x(x+3)}{x} = x+3\).
Formler
1. kvadratsætning
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. kvadratsætning
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. kvadratsætning
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Eksempler
EksempelUdvid \((3x+5)^2\)▼
1
Brug 1. kvadratsætning
\(a=3x,\; b=5\)
\((3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 5 + 5^2 = \textcolor{#ef4444}{9x^2 + 30x + 25}\)
\(a=3x,\; b=5\)
\((3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 5 + 5^2 = \textcolor{#ef4444}{9x^2 + 30x + 25}\)
Eksempel 2Reducer \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\)▼
1
Faktorisér tælleren
\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\)
\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\)
2
Forkort med \((x+3)\)
\(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3} = \textcolor{#ef4444}{x-3}\) (\(x \neq -3\))
\(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3} = \textcolor{#ef4444}{x-3}\) (\(x \neq -3\))
Eksempel 3Potensregler: \(\dfrac{x^5}{x^2}\) og \((x^2)^3\)▼
1
\(\dfrac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = \textcolor{#ef4444}{x^3}\)
2
\((x^2)^3 = x^{2\cdot3} = \textcolor{#ef4444}{x^6}\)
⚠️ Faldgrube: \((a+b)^2 \neq a^2+b^2\). Man glemmer dobbeltproduktet \(2ab\).
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Reducer: forenkl ved at faktorisere og forkorte — se efter \(a^2-b^2\)
- Udvid: brug kvadratsætninger \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
- Potensregler: \(\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\), \(\;x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \((a+b)^2 \neq a^2+b^2\) — midtleddet \(2ab\) glemmes meget hyppigt!
- \(\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b\) — kvadratroden fordeler sig ikke over plus
- Forkorte ulovligt: \(\dfrac{x+3}{x} \neq 3\) — kun faktorer kan forkortes