Vektorer i planen
Skalarprodukt, længde, vinkel og ortogonalitet
En vektor er en størrelse med både størrelse og retning. Skalarproduktet er et tal (ikke en vektor!) og bruges til at finde vinkler og tjekke ortogonalitet.
Tværvektoren til \(\binom{a}{b}\) er \(\binom{-b}{a}\) — byt og skift ét fortegn. Den er vinkelret på den originale vektor og bruges til at opstille linjeligninger.
Husk: \(\vec{AB} = B - A\) (slutpunkt minus startpunkt).
Formler
Vektor mellem to punkter
\(\vec{AB} = \binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\)
Længde
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
Skalarprodukt
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\)
Vinkel mellem vektorer
\(\cos v = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)
Ortogonalitet
\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0\)
Eksempler
EksempelFind vinklen mellem \(\vec{a}=\binom{3}{4}\) og \(\vec{b}=\binom{-1}{2}\)▼
1
Skalarprodukt
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-1)+4\cdot 2 = -3+8 = 5\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-1)+4\cdot 2 = -3+8 = 5\)
2
Længder
\(|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5,\quad |\vec{b}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)
\(|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5,\quad |\vec{b}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)
3
Vinkel
\(\cos v = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow v = \textcolor{#ef4444}{63{,}4°}\)
\(\cos v = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow v = \textcolor{#ef4444}{63{,}4°}\)
Eksempel 2Normalvektor og linjens ligning. \(\vec{v} = \binom{3}{-2}\), punkt \(P(1,4)\)▼
1
Find normalvektor
\(\vec{n} = \binom{2}{3}\) (byt koordinater og skift ét fortegn)
\(\vec{n} = \binom{2}{3}\) (byt koordinater og skift ét fortegn)
2
Opstil ligningen
\(2(x-1) + 3(y-4) = 0\)
\(2(x-1) + 3(y-4) = 0\)
3
Reducér
\(2x + 3y = \textcolor{#ef4444}{14}\)
\(2x + 3y = \textcolor{#ef4444}{14}\)
Eksempel 3Er \(\vec{a}=\binom{4}{-3}\) og \(\vec{b}=\binom{3}{4}\) ortogonale?▼
1
Beregn skalarproduktet
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot3 + (-3)\cdot4 = 12-12 = 0\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot3 + (-3)\cdot4 = 12-12 = 0\)
2
Skalarprodukt = 0 → ortogonale
Ja, \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ✓ (Bemærk: \(\vec{b}\) er tværvektoren til \(\vec{a}\))
Ja, \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ✓ (Bemærk: \(\vec{b}\) er tværvektoren til \(\vec{a}\))
⚠️ Faldgrube: Skalarproduktet er et tal, ikke en vektor. Ortogonale vektorer har skalarprodukt 0.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Skalarprodukt \(= 0\) ↔ vektorer er ortogonale (vinkelrette)
- Tværvektor til \(\binom{a}{b}\) er \(\binom{-b}{a}\) — byt og skift fortegn
- Projektion: \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Skalarproduktet: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\) — ingen krydsled
- Tværvektor: \(\binom{3}{4}^\perp = \binom{-4}{3}\) — IKKE \(\binom{4}{-3}\)
- Vektor fra A til B: \(\vec{AB} = B - A\) — i rigtig rækkefølge