Cirklens ligning
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) — centrum og radius
En cirkel er stedet for alle punkter med fast afstand \(r\) til centrum \(C(a,b)\). Normalformen \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) viser centrum og radius direkte.
Kvadratkomplettering bruges, når ligningen ikke er på normalform. Halvér koefficienten foran \(x\) (og \(y\)), kvadrer, tilføj/subtrahér. Centrum aflæses med modsat fortegn: \((x-3)^2\) giver centrum \(x=+3\).
Formler
Cirklens ligning
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
Centrum og radius
Centrum \(C=(a,b)\), radius \(r\)
Tangent i punkt P
Tangenten i \(P=(x_0,y_0)\) er vinkelret på radius \(CP\)
Eksempler
Eksempel\(x^2+y^2-6x+4y-12=0\)▼
1
Kvadratkomplettering i x
\(x^2-6x = (x-3)^2-9\)
\(x^2-6x = (x-3)^2-9\)
2
Kvadratkomplettering i y
\(y^2+4y = (y+2)^2-4\)
\(y^2+4y = (y+2)^2-4\)
3
Saml
\((x-3)^2+(y+2)^2 = 9+4+12 = 25\)
Centrum \(\textcolor{#ef4444}{(3,-2)}\), radius \(\textcolor{#ef4444}{5}\)
\((x-3)^2+(y+2)^2 = 9+4+12 = 25\)
Centrum \(\textcolor{#ef4444}{(3,-2)}\), radius \(\textcolor{#ef4444}{5}\)
Eksempel 2Bestem centrum og radius for \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\)▼
1
Kompleter kvadraterne
\((x^2-6x+9) + (y^2+4y+4) = 3+9+4\)
\((x^2-6x+9) + (y^2+4y+4) = 3+9+4\)
2
Normalform
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 16\)
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 16\)
3
Aflæs
Centrum \(C(3,-2)\), radius \(r = \textcolor{#ef4444}{4}\)
Centrum \(C(3,-2)\), radius \(r = \textcolor{#ef4444}{4}\)
💡 Tip: Hvis ligningen er udfoldet, brug kvadratkomplettering. Halver koefficienten foran x/y for at finde centrum.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Normalform: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) — centrum \((a,b)\), radius \(r\)
- Ligning uden normalform: kompletér kvadraterne til at finde centrum og radius
- Punkt på cirkel: indsæt og tjek om afstand til centrum \(= r\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Tegnet på centrum: \((x-3)^2\) giver centrum \(x=\textbf{+}3\), ikke \(-3\)
- \(r = \sqrt{r^2}\) — husk at tage kvadratroden for at finde radius
- Komplettering: \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\) — man skal trække \(9\) fra igen