Binomialfordeling
\(X \sim b(n,p)\) - fast antal forsøg med to udfald
Binomialfordelingen bruges, når et forsøg gentages \(n\) gange under præcis de samme betingelser, og hvert forsøg har to mulige udfald: "succes" (sandsynlighed \(p\)) eller "fiasko".
De fire betingelser: fast \(n\), to udfald, uafhængige forsøg, konstant \(p\). Tjek at de alle er opfyldt, inden du bruger formlen.
\(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) - husk at trække 1 fra i grænsen ved komplementregning.
Formler
Punktsandsynlighed
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Middelværdi
\(\mu = n\cdot p\)
Spredning
\(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\)
Eksempler
Eksempel10 kast med mønt: \(P(X=7)\)▼
1
Identificér
\(n=10,\; p=0{,}5,\; k=7\)
\(n=10,\; p=0{,}5,\; k=7\)
2
Beregn
\(P(X=7) = \binom{10}{7}\cdot 0{,}5^7\cdot 0{,}5^3 = 120\cdot\frac{1}{1024} = \textcolor{#ef4444}{0{,}117}\)
\(P(X=7) = \binom{10}{7}\cdot 0{,}5^7\cdot 0{,}5^3 = 120\cdot\frac{1}{1024} = \textcolor{#ef4444}{0{,}117}\)
Eksempel 2\(X\sim B(10, 0{,}3)\). Find \(P(X \leq 3)\)▼
1
Brug kumulativ binomialfordeling
\(P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k} 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{10-k}\)
\(P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k} 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{10-k}\)
2
Lommeregner
\(P(X\leq 3) \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}650}\)
\(P(X\leq 3) \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}650}\)
Eksempel 3 - P(X ≥ k)\(X\sim B(10, 0{,}3)\). Find \(P(X \geq 4)\)▼
1
Brug komplementet
\(P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)\)
\(P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)\)
2
Vi ved P(X ≤ 3) ≈ 0,650
(fra Eksempel 2)
(fra Eksempel 2)
3
Svar
\(P(X \geq 4) = 1 - 0{,}650 = \textcolor{#ef4444}{0{,}350}\)
\(P(X \geq 4) = 1 - 0{,}650 = \textcolor{#ef4444}{0{,}350}\)
⚠️ Faldgrube: \(P(X\geq k)\) kræver ofte at man bruger \(1-P(X\leq k-1)\). Brug CAS til kumulative sandsynligheder.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- \(X \sim B(n,p)\): \(n\) forsøg, \(p\) er sandsynlighed for "succes" per forsøg
- Formel: \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
- Kumulativ: \(P(X \leq k)\) - summer alle sandsynligheder fra 0 til k
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Forveksler \(P(X=k)\) og \(P(X\leq k)\) - læs spørgsmålet nøje
- \(P(X > k) = 1 - P(X \leq k)\) - brug komplementet
- Forsøgene skal være uafhængige og \(p\) konstant - tjek konteksten