Areal under kurve
Beregn areal afgrænset af grafer og koordinatakser
Det bestemte integral beregner det algebraiske areal mellem en kurve og x-aksen. Arealet er altid positivt — men integralet giver et negativt tal, når kurven er under x-aksen. Brug absolutværdien.
Fremgangsmåde: find nulpunkterne (integrationsgrænserne), tjek om kurven skifter fortegn, integrer, og tag absolutværdien af hvert stykke. Del aldrig integralet op i "negativ" og "positiv" del mentalt — beregn først, tag |…| bagefter.
Formler
Areal under f(x) i intervallet [a, b]
\(A = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| = |F(b) - F(a)|\)
Areal afgrænset af f(x) og x-aksen — find nulpunkter først
Sæt \(f(x)=0\) og løs → nulpunkter \(x=a\) og \(x=b\) → \(A=|F(b)-F(a)|\)
Areal mellem f og g
\(A = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx\) når \(f(x) \geq g(x)\) i \([a,b]\)
Areal i to dele (f skifter fortegn)
Del intervallet ved nulpunktet \(c\): \(A = |F(c)-F(a)| + |F(b)-F(c)|\)
Eksempler
Eksempel 1
Areal af \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x\) for \(x\in[0,3]\)
▼
1
Find stamfunktionen
\(F(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{5x^3}{3} + 3x^2\)
\(F(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{5x^3}{3} + 3x^2\)
2
Indsæt grænser
\(F(3) - F(0) = \dfrac{81}{4} - 45 + 27 - 0\)
\(F(3) - F(0) = \dfrac{81}{4} - 45 + 27 - 0\)
3
Tag absolutværdien
\(A = |{-0{,}75}| = \textcolor{#ef4444}{0{,}75}\)
\(A = |{-0{,}75}| = \textcolor{#ef4444}{0{,}75}\)
Eksempel 2
Areal afgrænset af \(f(x)=2x-x^2\) og x-aksen (find nulpunkter)
▼
1
Find nulpunkter
\(2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0\) og \(x=2\)
\(2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0\) og \(x=2\)
2
Integrer fra 0 til 2
\(F(x)=x^2-\tfrac{x^3}{3}\) \(F(2)-F(0)=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}\)
\(F(x)=x^2-\tfrac{x^3}{3}\) \(F(2)-F(0)=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}\)
3
Areal
\(A=\left|\tfrac{4}{3}\right|=\textcolor{#ef4444}{\tfrac{4}{3}}\approx 1{,}33\)
\(A=\left|\tfrac{4}{3}\right|=\textcolor{#ef4444}{\tfrac{4}{3}}\approx 1{,}33\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven beder om "arealet som grafen afgrænser med x-aksen" — find da nulpunkterne først og brug dem som grænser
- Grænser givet direkte: integrer fra \(a\) til \(b\) og tag \(|\cdot|\)
- Funktion skifter fortegn: del arealet op og beregn hvert stykke for sig
- Areal under x-aksen: integralet er negativt — absolutværdien giver det korrekte areal
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glemmer absolutværdien — negativt integral ≠ negativt areal
- Bruger tilnærmede nulpunkter som grænser — prøv at faktorisere eksakt
- Graferne under x-aksen: integrér stadig nedad → husk \(|\cdot|\)
💡 Husk absolutværdien! Hvis funktionen er negativ i intervallet, giver integralet et negativt tal — men arealet er altid positivt. Tjek om funktionen skifter fortegn i intervallet.