Differensligninger
Rekursive følger af typen \(y_{n+1} = a\cdot y_n + b\)
En differensligning beskriver en rekursiv følge: hvert led beregnes ud fra det foregående. Eksempler: renters rente, befolkningsvækst år for år, medicindosering.
Fikspunktet y* er den værdi følgen nærmer sig, hvis |a| < 1. For et lån er fikspunktet den gæld, hvor ydelsen kun dækker renten — dvs. gælden aldrig afbetales. Er startgælden under fikspunktet, afbetales lånet.
Konvergens kræver |a| < 1 — ikke bare a < 1. En a-værdi nær 0 konvergerer hurtigt, nær 1 langsomt.
a = vækstfaktor
b = konstant led
y₀ = startværdi
y* = fikspunkt
Formler
Fikspunkt
\(\textcolor{#f59e0b}{y^*} = \dfrac{\textcolor{#10b981}{b}}{1-\textcolor{#3b82f6}{a}}\)
Lukket form
\(y_n = \textcolor{#3b82f6}{a}^n\cdot(\textcolor{#8b5cf6}{y_0} - \textcolor{#f59e0b}{y^*}) + \textcolor{#f59e0b}{y^*}\)
Stabilitet
Stabilt fikspunkt hvis \(|\textcolor{#3b82f6}{a}| < 1\) | Ustabilt hvis \(|\textcolor{#3b82f6}{a}| > 1\)
Eksempler
Eksempel 1
Restgæld: \(y_{n+1} = \textcolor{#3b82f6}{1{,}02}\cdot y_n \textcolor{#10b981}{- 1300}\), \(y_0 = \textcolor{#8b5cf6}{10000}\)
▼
1
Beregn iterativt
\(y_1 = \textcolor{#3b82f6}{1{,}02}\cdot\textcolor{#8b5cf6}{10000}\textcolor{#10b981}{-1300} = 8900\)
\(y_1 = \textcolor{#3b82f6}{1{,}02}\cdot\textcolor{#8b5cf6}{10000}\textcolor{#10b981}{-1300} = 8900\)
2
\(y_2 = 1{,}02\cdot 8900 - 1300 = 7778\)
3
Fikspunkt (lån betalt)
\(y^* = \dfrac{\textcolor{#10b981}{-1300}}{1-\textcolor{#3b82f6}{1{,}02}} = \textcolor{#f59e0b}{65000}\)
\(y^* = \dfrac{\textcolor{#10b981}{-1300}}{1-\textcolor{#3b82f6}{1{,}02}} = \textcolor{#f59e0b}{65000}\)
Eksempel 2 — lukket form
\(y_{n+1} = \textcolor{#3b82f6}{0{,}8}\cdot y_n + \textcolor{#10b981}{20}\), \(y_0 = \textcolor{#8b5cf6}{150}\). Find \(y_n\) og hvad følgen nærmer sig.
▼
1
Fikspunkt
\(y^* = \dfrac{20}{1-0{,}8} = \dfrac{20}{0{,}2} = \textcolor{#f59e0b}{100}\)
\(y^* = \dfrac{20}{1-0{,}8} = \dfrac{20}{0{,}2} = \textcolor{#f59e0b}{100}\)
2
Find A og skriv lukket form
\(A = y_0 - y^* = 150-100 = 50\)
\(y_n = 50\cdot 0{,}8^n + 100\)
\(A = y_0 - y^* = 150-100 = 50\)
\(y_n = 50\cdot 0{,}8^n + 100\)
3
Konvergens og fortolkning
|a| = 0,8 < 1 → følgen konvergerer mod \(\textcolor{#ef4444}{y^* = 100}\). Starter i 150, falder asymptotisk mod 100.
|a| = 0,8 < 1 → følgen konvergerer mod \(\textcolor{#ef4444}{y^* = 100}\). Starter i 150, falder asymptotisk mod 100.
Eksempel 3 — divergens
\(y_{n+1} = \textcolor{#3b82f6}{1{,}1}\cdot y_n + \textcolor{#10b981}{5}\), \(y_0 = \textcolor{#8b5cf6}{50}\). Konvergerer?
▼
1
Fikspunkt
\(y^* = \dfrac{5}{1-1{,}1} = -50\)
\(y^* = \dfrac{5}{1-1{,}1} = -50\)
2
Lukket form: A = 50−(−50) = 100
\(y_n = 100\cdot 1{,}1^n - 50\)
\(y_n = 100\cdot 1{,}1^n - 50\)
3
|a| = 1,1 > 1 → \(\textcolor{#ef4444}{\text{Divergerer}}\)
Følgen vokser mod uendelig — der er ingen ligevægt.
Følgen vokser mod uendelig — der er ingen ligevægt.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven giver y_{n+1} = a·y_n + b og en startværdi y_0
- Spørger om y_n for et bestemt n, fikspunktet y*, eller om følgen er voksende/aftagende
- Kan handle om lån, opsparing, befolkningsvækst eller medicindosering
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Fikspunktet: y* = b/(1-a) — husk at b kan være negativt
- Stabilt fikspunkt kræver |a| < 1 — ikke bare a < 1
- Lukket form: y_n = a^n·(y_0 - y*) + y* — indsæt y* korrekt
- Er a > 1? Så er fikspunktet ustabilt og følgen divergerer
💡 Fikspunktet er den værdi, som følgen nærmer sig. For et lån er fikspunktet den gæld, der aldrig afbetales — dvs. du betaler kun renter. Er startgælden under fikspunktet, afbetales lånet.