Stationære punkter for f(x,y)
Find punkter hvor gradienten er nul — toppe, bunde og saddelpunkter
En funktion af to variable f(x,y) har et stationært punkt, når begge partielle afledte er nul. Geometrisk svarer det til et "toppunkt", "bundpunkt" eller "saddelpunkt" på overfladen.
Partiel differentiering: differentier ét variabel ad gangen, hold det andet konstant som et tal. Fx: \(f(x,y) = 3x^2y\) — \(f'_x = 6xy\) (y er konstant), \(f'_y = 3x^2\) (x er konstant).
Løs ligningssystemet \(f'_x = 0\) og \(f'_y = 0\) med substitution: isolér én variabel i én ligning, indsæt i den anden.
Formler
Stationært punkt
\(\nabla f(x_0,y_0) = \vec{0}\), dvs. \(f'_x(x_0, y_0) = 0\) og \(f'_y(x_0, y_0) = 0\)
Partielle afledede
\(f'_x\): differentier m.h.t. \(x\), hold \(y\) konstant
\(f'_y\): differentier m.h.t. \(y\), hold \(x\) konstant
\(f'_y\): differentier m.h.t. \(y\), hold \(x\) konstant
Klassifikation — arten af stationært punkt
Definer: \(r = f''_{xx}(x_0,y_0)\), \(s = f''_{xy}(x_0,y_0) = f''_{yx}(x_0,y_0)\), \(t = f''_{yy}(x_0,y_0)\)
\(r\cdot t - s^2 > 0\) og \(r < 0\) → Lokalt maksimum
\(r\cdot t - s^2 > 0\) og \(r > 0\) → Lokalt minimum
\(r\cdot t - s^2 < 0\) → Saddelpunkt
\(r\cdot t - s^2 = 0\) → Arten ubestemt (yderligere analyse nødvendig)
\(r\cdot t - s^2 > 0\) og \(r < 0\) → Lokalt maksimum
\(r\cdot t - s^2 > 0\) og \(r > 0\) → Lokalt minimum
\(r\cdot t - s^2 < 0\) → Saddelpunkt
\(r\cdot t - s^2 = 0\) → Arten ubestemt (yderligere analyse nødvendig)
Eksempler
Eksempel
\(f(x,y) = x^2 - y^2 + xy + 5y - 3\)
▼
1
Find \(f'_x\) — hold y konstant
\(f'_x = 2x + y = 0\)
\(f'_x = 2x + y = 0\)
2
Find \(f'_y\) — hold x konstant
\(f'_y = -2y + x + 5 = 0\)
\(f'_y = -2y + x + 5 = 0\)
3
Løs ligningssystemet
Fra lig. 1: \(y = -2x\). Indsæt: \(-2(-2x)+x+5=0 \Rightarrow 5x=-5 \Rightarrow x=-1\), \(y=2\)
Fra lig. 1: \(y = -2x\). Indsæt: \(-2(-2x)+x+5=0 \Rightarrow 5x=-5 \Rightarrow x=-1\), \(y=2\)
4
Koordinatsæt
\((-1,\; 2,\; f(-1,2)) = (-1,\; 2,\; \textcolor{#ef4444}{2})\)
\((-1,\; 2,\; f(-1,2)) = (-1,\; 2,\; \textcolor{#ef4444}{2})\)
Eksempel 2 — klassifikation via Hesse
\(f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 10\) — er punktet maks, min eller sadel?
▼
1
Find stationært punkt
\(f'_x = 2x-2 = 0 \Rightarrow x=1\) \(f'_y = 2y-4=0 \Rightarrow y=2\)
\(f'_x = 2x-2 = 0 \Rightarrow x=1\) \(f'_y = 2y-4=0 \Rightarrow y=2\)
2
Beregn r, s, t
\(r = f''_{xx}=2\), \(s = f''_{xy}=0\), \(t = f''_{yy}=2\)
\(r = f''_{xx}=2\), \(s = f''_{xy}=0\), \(t = f''_{yy}=2\)
3
Beregn \(r\cdot t - s^2\)
\(2\cdot 2 - 0^2 = 4 > 0\)
\(2\cdot 2 - 0^2 = 4 > 0\)
4
Klassifikation
\(r\cdot t - s^2 = 4 > 0\) og \(r = 2 > 0\) → Lokalt minimum i \((1,\;2)\)
\(r\cdot t - s^2 = 4 > 0\) og \(r = 2 > 0\) → Lokalt minimum i \((1,\;2)\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven giver \(f(x,y)\) og beder om "stationære punkter" eller "lokalt maks/min"
- Formelsamlingen: sæt \(f'_x=0\) og \(f'_y=0\) — løs ligningssystemet
- Del 2: kan kombineres med at klassificere punktet (sadelpunkt, maks eller min) via andenordensafledede
- Variant: optimering med bibetingelse — brug substitution eller Lagrange
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Hold y konstant ved differentiering m.h.t. x — og omvendt
- To ligninger, to ubekendte — brug substitution: isolér den ene variabel i én ligning
- Find funktionsværdien \(f(x_0,y_0)\) til sidst — koordinatsættet er tredimensionalt
- Saddelpunkt er hverken maks eller min — \(f\) stiger i én retning, falder i en anden
💡 Sæt begge partielle afledede lig 0 — det giver et ligningssystem i x og y som du løser med substitution eller addition.