Differentialligninger
Ligninger der beskriver sammenhæng mellem en funktion og dens afledte
En differentialligning er en ligning der indeholder en funktion og dens afledte. Løsningen er ikke et tal — det er en hel funktion. DL bruges til at modellere vækst, henfald og udtømning.
De tre vigtigste typer: Eksponentiel \(y'=ky\) (konstant procentvækst), Logistisk \(y'=ky(M-y)\) (vækst med bærekapacitet M), og Torricelli \(h'=-k\sqrt{h}\) (udtømning af tank).
Linjeelementet er hældningen af løsningskurven i et punkt — find det ved at indsætte koordinaterne direkte i diff.ligningens højreside.
k = vækstrate
M = bærekapacitet
y₀ = startværdi
Formler
Linjeelementet
Indsæt \((x_0, y_0)\) direkte i diff.ligningen og beregn \(y'\)
Eksponentiel vækst: y′ = ky
\(y(t) = \textcolor{#8b5cf6}{y_0} \cdot e^{\textcolor{#3b82f6}{k}t}\)
Logistisk vækst: y′ = ky(M−y)
\(y(t) = \dfrac{\textcolor{#10b981}{M}}{1 + \dfrac{\textcolor{#10b981}{M}-\textcolor{#8b5cf6}{y_0}}{\textcolor{#8b5cf6}{y_0}}\cdot e^{-\textcolor{#3b82f6}{k}\textcolor{#10b981}{M}t}}\)
Torricelli: h′ = −k√h
\(h(t) = \left(\sqrt{h_0} - \dfrac{\textcolor{#3b82f6}{k}}{2}t\right)^2\)
Sandsynlighed på lommeregneren
\(P(X \leq a)\): normalcdf\((-\infty, a, \mu, \sigma)\)
\(P(a \leq X \leq b)\): normalcdf\((a, b, \mu, \sigma)\)
Omvendt (find x): invNorm\((p, \mu, \sigma)\)
\(P(a \leq X \leq b)\): normalcdf\((a, b, \mu, \sigma)\)
Omvendt (find x): invNorm\((p, \mu, \sigma)\)
Eksempler
Eksempel 1
Linjeelementet for \(y' = \textcolor{#3b82f6}{0{,}4}\cdot y\cdot(\textcolor{#10b981}{35}-y)\) i \(P(0, \textcolor{#8b5cf6}{5})\)
▼
1
Indsæt \(y = \textcolor{#8b5cf6}{5}\) direkte
\(y' = \textcolor{#3b82f6}{0{,}4} \cdot \textcolor{#8b5cf6}{5} \cdot (\textcolor{#10b981}{35} - \textcolor{#8b5cf6}{5})\)
\(y' = \textcolor{#3b82f6}{0{,}4} \cdot \textcolor{#8b5cf6}{5} \cdot (\textcolor{#10b981}{35} - \textcolor{#8b5cf6}{5})\)
2
Beregn
\(= 0{,}4 \cdot 5 \cdot 30 = \textcolor{#ef4444}{60}\)
\(= 0{,}4 \cdot 5 \cdot 30 = \textcolor{#ef4444}{60}\)
Eksempel 2
Logistisk løsning: \(y' = \textcolor{#3b82f6}{0{,}1}y(\textcolor{#10b981}{100}-y)\), \(y(0) = \textcolor{#8b5cf6}{10}\)
▼
1
Identificér parametre
k = 0,1, M = 100, y₀ = 10
k = 0,1, M = 100, y₀ = 10
2
Beregn A
\(A = \dfrac{\textcolor{#10b981}{100}-\textcolor{#8b5cf6}{10}}{\textcolor{#8b5cf6}{10}} = 9\)
\(A = \dfrac{\textcolor{#10b981}{100}-\textcolor{#8b5cf6}{10}}{\textcolor{#8b5cf6}{10}} = 9\)
3
Skriv løsningen
\(y(t) = \dfrac{\textcolor{#ef4444}{100}}{1 + 9\cdot e^{-10t}}\)
\(y(t) = \dfrac{\textcolor{#ef4444}{100}}{1 + 9\cdot e^{-10t}}\)
Eksempel 1
Eksponentiel: \(y' = \textcolor{#3b82f6}{0{,}03}y\), \(y(0) = \textcolor{#8b5cf6}{500}\)
▼
1
Genkend typen \(y'=ky\) — indsæt k og y₀
k = 0,03, y₀ = 500
k = 0,03, y₀ = 500
2
Skriv løsningen direkte
\(y(t) = \textcolor{#ef4444}{500\cdot e^{0{,}03t}}\)
Tolkning: 3% vækstrate, startværdi 500.
\(y(t) = \textcolor{#ef4444}{500\cdot e^{0{,}03t}}\)
Tolkning: 3% vækstrate, startværdi 500.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven viser et linjeelementdiagram og beder om at bestemme løsningskurven
- Linjeelementet: indsæt \((x_0,y_0)\) i diff.ligningens højreside → du får hældningen i det punkt
- Kontrollér en given løsning: differentier den foreslåede funktion og tjek at den opfylder diff.ligningen
- Eksponentiel/logistisk type: se "Diff.ligninger — analytisk løsning" for løsningsformlerne
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Linjeelementet er hældningen \(y'\) — ikke funktionsværdien \(y\)
- Kontrollér løsningen: differentier \(F(x)\) og tjek at begge sider af diff.ligningen er ens
💡 Linjeelementet er bare hældningen af løsningskurven i et punkt — indsæt \((x_0, y_0)\) i højresiden af diff.ligningen.