Kurvelængde
Beregn længden af en parameterkurve
Kurvelængden beregnes ved at integrere farten langs kurven — summér uendeligt mange infinitesimale stykker med Pythagoras: \(\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\cdot dt\).
I praksis kræver disse integraler næsten altid CAS. Det vigtigste på eksamen er at differentiere korrekt og opstille integralet tydeligt — vis opsætningen, beregn med CAS.
Formler
Kurvelængde
\(L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,dt\)
Vinkel mellem vektorer
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{|\vec{v_1}|\cdot|\vec{v_2}|}\)
Eksempler
Eksempel
\(\vec{s}(t)=(3t, 4t)\), \(t\in[0,2]\)
▼
1
Find \(x'(t)\) og \(y'(t)\)
\(x'=3\), \(y'=4\)
\(x'=3\), \(y'=4\)
2
Beregn \(\sqrt{x'^2+y'^2}\)
\(\sqrt{9+16} = 5\)
\(\sqrt{9+16} = 5\)
3
Integrer over intervallet
\(L = \int_0^2 5\,dt = \textcolor{#ef4444}{10}\)
\(L = \int_0^2 5\,dt = \textcolor{#ef4444}{10}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven beder om "kurvelængden" for en parameterkurve \(\vec{s}(t)=(x(t),y(t))\)
- Formelsamlingen: \(L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt\)
- Del 2: ofte kombineret med at finde dobbeltpunkt og beregne vinkel
- Ret linje: \(L=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) — Pythagoras
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Differentier begge komponenter x(t) og y(t) — ikke kun den ene
- Dobbeltpunkt: find t-værdier hvor \(x(t_1)=x(t_2)\) og \(y(t_1)=y(t_2)\) — to ligninger
- Vinkel mellem tangenter: brug prikprodukt \(\cos\theta=\frac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|}\)
- CAS er nødvendigt til de fleste kurvelængde-integraler — opsæt integralet og beregn numerisk
💡 Når \(x'\) og \(y'\) er konstanter (ret linje), er kurvelængden simpelt \(L = \sqrt{x'^2+y'^2}\cdot\Delta t\). Ellers skal du integrere numerisk eller med CAS.