Stamfunktioner
Find F(x) fra f(x) — integration med bestemmelse af integrationskonstanten
En stamfunktion F til f opfylder F′(x) = f(x). Der er uendeligt mange stamfunktioner — de adskiller sig kun ved en integrationskonstant c. En begyndelsesbetingelse (et punkt grafen skal passere) bestemmer c entydigt.
Fremgangsmåde: integrer f(x), tilføj +c, indsæt begyndelsesbetingelsen F(x₀) = y₀, isolér c. Tjek ved at differentiere F(x) — du skal få f(x) tilbage.
En stamfunktion F til f er en funktion der opfylder F′(x) = f(x). Der er uendeligt mange stamfunktioner — de adskiller sig kun ved en konstant c. En begyndelsesbetingelse (et punkt grafen skal gå igennem) bestemmer c entydigt. På eksamen er der to typiske varianter: enten F(x₀) = y₀ eller at F har en bestemt tangent.
Formler
Find stamfunktion
\(F(x) = \int f(x)\,dx = \ldots + c\)
Bestem c fra punkt
Indsæt \(F(x_0)=y_0\) og isolér \(c\)
Bestem c fra tangentbetingelse
Tangent \(y=mx+b\) rører F i \(x_0\):
1. \(F'(x_0) = m\) → find \(x_0\)
2. \(F(x_0) = mx_0+b\) → find \(c\)
1. \(F'(x_0) = m\) → find \(x_0\)
2. \(F(x_0) = mx_0+b\) → find \(c\)
Eksempler
Eksempel 1 — Fra punkt
\(f(x)=2x+3\), \(F(1)=5\)
▼
1
Integrer
\(F(x) = x^2+3x+c\)
\(F(x) = x^2+3x+c\)
2
Indsæt betingelsen
\(F(1)=1+3+c=5 \Rightarrow c=1\)
\(F(1)=1+3+c=5 \Rightarrow c=1\)
3
\(F(x)=\textcolor{#ef4444}{x^2+3x+1}\)
Eksempel 2 — Tangentbetingelse
\(f(x)=2x^2+x\), tangent \(y=4x+1\)
▼
1
Find stamfunktionen
\(F(x)=\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+c\)
\(F(x)=\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+c\)
2
Tangentens hældning = F′(x₀)
\(F'(x_0)=2x_0^2+x_0=4 \Rightarrow x_0=1\) (den positive rod)
\(F'(x_0)=2x_0^2+x_0=4 \Rightarrow x_0=1\) (den positive rod)
3
Find c fra tangenten
\(F(1)=4\cdot1+1=5\) og \(F(1)=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2}+c \Rightarrow c=5-\tfrac{7}{6}=\tfrac{23}{6}\)
\(F(1)=4\cdot1+1=5\) og \(F(1)=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2}+c \Rightarrow c=5-\tfrac{7}{6}=\tfrac{23}{6}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven giver \(f(x)\) og en begyndelsesbetingelse \(F(x_0)=y_0\) — find \(F(x)\)
- Fremgangsmåde: integrer \(f(x)\) → få \(F(x)+c\) → indsæt \(F(x_0)=y_0\) → isolér \(c\)
- Tangentbetingelse: tangenten \(y=mx+b\) rører kurven i \(x=k\): løs \(F'(k)=m\) for \(k\), derefter \(F(k)=mk+b\) for \(c\)
- Tjek: differentier \(F(x)\) — du skal få \(f(x)\) tilbage
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glemmer konstanten \(c\) — en stamfunktion uden c er ikke fuldt bestemt
- Indsætter \(x_0\) i \(f(x)\) i stedet for \(F(x)\) — brug den integrerede funktion
- \(\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+c\) — husk \(\frac{1}{a}\) faktoren
⚠️ Faldgrube: Glem ikke konstanten c — en stamfunktion uden c giver altid en af de uendeligt mange mulige. Husk også at differentiére dit svar som tjek: F′(x) skal give f(x).