Normalfordeling
\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) — beregn sandsynligheder med standardisering
Normalfordelingen har den karakteristiske klokkeform og er symmetrisk om middelværdien μ. Ca. 68% af alle observationer ligger inden for ±1σ, ca. 95% inden for ±2σ. Det er disse 95% der definerer normale udfald på eksamen.
Teknikken er altid den samme: standardisér ved at beregne z-værdien \(z = \frac{x-\mu}{\sigma}\), og brug derefter lommeregneren. Et udfald er exceptionelt hvis |z| > 2.
Lommeregner: normalcdf(a, b, μ, σ) giver P(a ≤ X ≤ b). Omvendt: invNorm(p, μ, σ) finder x ud fra sandsynlighed p.
μ = middelværdi
σ = spredning
z = standardiseret værdi
P = sandsynlighed
Formler
Standardisering
\(\textcolor{#f59e0b}{z} = \dfrac{x - \textcolor{#3b82f6}{\mu}}{\textcolor{#10b981}{\sigma}}\)
Normale udfald
\([\textcolor{#3b82f6}{\mu} - 2\textcolor{#10b981}{\sigma};\; \textcolor{#3b82f6}{\mu} + 2\textcolor{#10b981}{\sigma}]\)
Nyttige Φ-værdier
\(P(\mu \leq X \leq \mu+\sigma) = 0{,}3413\)
\(P(\mu \leq X \leq \mu+2\sigma) = 0{,}4772\)
\(P(X > x) = 1 - \Phi(z)\)
\(P(\mu \leq X \leq \mu+2\sigma) = 0{,}4772\)
\(P(X > x) = 1 - \Phi(z)\)
Sinus og cosinus
\(\displaystyle\int \sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + c\)
\(\displaystyle\int \cos(kx)\,dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) + c\)
\(\displaystyle\int \cos(kx)\,dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) + c\)
Eksempler
Eksempel 1
\(X\sim N(\textcolor{#3b82f6}{60}, \textcolor{#10b981}{12}^2)\), bestem \(P(60 \leq X \leq 84)\)
▼
1
Standardisér den øvre grænse
\(\textcolor{#f59e0b}{z} = \dfrac{84 - \textcolor{#3b82f6}{60}}{\textcolor{#10b981}{12}} = \dfrac{24}{12} = \textcolor{#f59e0b}{2}\)
\(\textcolor{#f59e0b}{z} = \dfrac{84 - \textcolor{#3b82f6}{60}}{\textcolor{#10b981}{12}} = \dfrac{24}{12} = \textcolor{#f59e0b}{2}\)
2
Nedre grænse er μ → z = 0
\(P(60 \leq X \leq 84) = \Phi(\textcolor{#f59e0b}{2}) - \Phi(0) = \Phi(2) - 0{,}5\)
\(P(60 \leq X \leq 84) = \Phi(\textcolor{#f59e0b}{2}) - \Phi(0) = \Phi(2) - 0{,}5\)
3
Aflæs tabel
\(= \textcolor{#ef4444}{0{,}4772}\)
\(= \textcolor{#ef4444}{0{,}4772}\)
Eksempel 2
\(X\sim N(\textcolor{#3b82f6}{25}, \textcolor{#10b981}{7}^2)\), bestem \(P(X > 30)\)
▼
1
Standardisér
\(\textcolor{#f59e0b}{z} = \dfrac{30 - \textcolor{#3b82f6}{25}}{\textcolor{#10b981}{7}} \approx \textcolor{#f59e0b}{0{,}714}\)
\(\textcolor{#f59e0b}{z} = \dfrac{30 - \textcolor{#3b82f6}{25}}{\textcolor{#10b981}{7}} \approx \textcolor{#f59e0b}{0{,}714}\)
2
Brug \(P(X > x) = 1 - \Phi(z)\)
\(P(X > 30) = 1 - \Phi(0{,}714) \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}2376}\)
\(P(X > 30) = 1 - \Phi(0{,}714) \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}2376}\)
Eksempel 3 — omvendt problem
\(X\sim N(100, 15^2)\). Find \(x_0\) så \(P(X \leq x_0) = 0{,}90\)
▼
1
Find z-værdien der svarer til 90%
\(z_{0{,}90} = 1{,}282\) (fra tabel eller invNorm(0,90, 0, 1))
\(z_{0{,}90} = 1{,}282\) (fra tabel eller invNorm(0,90, 0, 1))
2
Omregn fra z til x: \(x_0 = \mu + z\cdot\sigma\)
\(x_0 = 100 + 1{,}282\cdot 15 \approx \textcolor{#ef4444}{119{,}2}\)
\(x_0 = 100 + 1{,}282\cdot 15 \approx \textcolor{#ef4444}{119{,}2}\)
Interaktiv normalfordeling
Tilpas μ og σ — se fordelingen ændre sig
Normale udfald: [30; 70] | P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,6827
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven angiver X ~ N(μ, σ²) og beder om en sandsynlighed
- "Normale udfald" → altid [μ-2σ; μ+2σ]
- "Exceptionelt udfald" → |z| > 2
- Svær variant: find μ eller σ ud fra en given sandsynlighed
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- σ² er variansen — σ er spredningen. Tjek altid hvad der er givet
- Standardisering: z = (x-μ)/σ — husk at dividere med σ, ikke σ²
- P(X > x) = 1 - Φ(z) — ikke bare Φ(z)
- Φ-tabellen giver P(X ≤ z) for standardnormalfordeling — standardisér altid først
💡 Exceptionelt udfald: Et udfald er exceptionelt hvis \(|z| > 2\), dvs. det ligger uden for de normale udfald \([\mu-2\sigma;\, \mu+2\sigma]\).