Tangent & optimering
Find tangentligninger og bestem optimale værdier med differentialregning
En tangent er den bedste lineære approksimation af kurven i et punkt. Hældningen er f′(x₀) og røringspunktet er (x₀, f(x₀)).
Tangent fra eksternt punkt: Du kender ikke røringspunktet — du leder efter det. Kald det P(k, f(k)), skriv tangentligningen, og brug betingelsen at den ekstra punkt Q(a,b) opfyldes. Det giver en ligning i k som du løser.
Optimering: sæt f′(x) = 0, løs for x, indsæt for at finde maks/min. Husk at tjekke om det fundne punkt er maks eller min (fortegnsanalyse).
Tangenter og optimering er to af de vigtigste anvendelser af differentialregning. En tangent beskriver den bedste lineære approksimation af kurven i et punkt. Optimering handler om at finde de x-værdier, hvor en funktion har sit maksimum eller minimum, ved at sætte den afledte lig nul.
Formler
Tangentligning i punkt \((x_0, f(x_0))\)
\(y - f(x_0) = f'(x_0)\cdot(x-x_0)\)
Tangent der går gennem eksternt punkt Q(a,b)
Røringsstedet er \(P(k, f(k))\). Sæt op:
\(b - f(k) = f'(k)\cdot(a-k)\) — løs ligningen for \(k\)
\(b - f(k) = f'(k)\cdot(a-k)\) — løs ligningen for \(k\)
Ekstrema
\(f'(x_0)=0\) er nødvendigt for lokalt min/maks.
Fortegnsanalyse eller \(f''(x_0)\) afgør type.
Fortegnsanalyse eller \(f''(x_0)\) afgør type.
Eksempler
Eksempel 1 — Tangentligning
\(f(x)=x^3\), tangent i \(x_0=2\)
▼
1
Find punktet og hældningen
\(f(2)=8\), \(f'(x)=3x^2 \Rightarrow f'(2)=12\)
\(f(2)=8\), \(f'(x)=3x^2 \Rightarrow f'(2)=12\)
2
Punkt-hældningsformel
\(y-8=12(x-2) \Rightarrow y=\textcolor{#ef4444}{12x-16}\)
\(y-8=12(x-2) \Rightarrow y=\textcolor{#ef4444}{12x-16}\)
Eksempel 2 — Tangent til eksternt punkt
\(f(x)=\ln(x)\), tangent der går igennem \(O(0,0)\)
▼
1
Skriv tangentens ligning i røringspunkt \(P(k, \ln k)\)
\(y-\ln k = \tfrac{1}{k}(x-k)\)
\(y-\ln k = \tfrac{1}{k}(x-k)\)
2
Indsæt at tangenten går igennem (0,0)
\(0-\ln k = \tfrac{1}{k}(0-k) = -1 \Rightarrow \ln k = 1 \Rightarrow k=e\)
\(0-\ln k = \tfrac{1}{k}(0-k) = -1 \Rightarrow \ln k = 1 \Rightarrow k=e\)
3
Røringspunktet er \(P=(e, 1)\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Tangent i punkt \(P(x_0, f(x_0))\): beregn \(f(x_0)\) og \(f'(x_0)\), indsæt i \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)
- Find \(k\) så tangenten i \(x=k\) har en bestemt hældning: sæt \(f'(k)=m\) og løs
- Tangent fra eksternt punkt \(Q(a,b)\): kald røringspunktet \(P(k,f(k))\), skriv tangentligningen, indsæt \((a,b)\) og løs for \(k\)
- Optimering: sæt \(f'(x)=0\), løs for \(x\), indsæt for at finde maks/min
Eksempel — find k
\(f(x)=x^3-3x^2+kx+2\). Find k så \(f'(1)=0\)
▼
1
Differentier
\(f'(x)=3x^2-6x+k\)
\(f'(x)=3x^2-6x+k\)
2
Indsæt x=1 og sæt lig 0
\(f'(1)=3-6+k=0 \Rightarrow k=3\)
\(f'(1)=3-6+k=0 \Rightarrow k=3\)
Eksempel — størst areal
Et rektangel med hjørne på \(f(x)=4-x^2\). Find x der giver størst areal.
▼
1
Opstil arealfunktion
\(A(x)=2x\cdot f(x)=2x(4-x^2)=8x-2x^3\)
\(A(x)=2x\cdot f(x)=2x(4-x^2)=8x-2x^3\)
2
Differentier og sæt lig 0
\(A'(x)=8-6x^2=0 \Rightarrow x^2=\tfrac{4}{3} \Rightarrow x=\tfrac{2}{\sqrt{3}}\)
\(A'(x)=8-6x^2=0 \Rightarrow x^2=\tfrac{4}{3} \Rightarrow x=\tfrac{2}{\sqrt{3}}\)
3
Max areal
\(A\!\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=\textcolor{#ef4444}{\tfrac{16}{3\sqrt{3}}}\)
\(A\!\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=\textcolor{#ef4444}{\tfrac{16}{3\sqrt{3}}}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Tangent i punkt: indsæt \(x_0\) i \(f(x)\) og \(f'(x)\) — begge er nødvendige
- Find-k: det er \(f'(k)=m\) du løser — ikke \(f(k)=m\)
- Optimering: husk at tjekke om det fundne punkt er maks eller min (fortegnsanalyse)
⚠️ Faldgrube ved eksternt punkt: Du ved ikke hvor røringspunktet er — det er det du leder efter. Kald det \(P(k, f(k))\), skriv tangentligningen, og brug betingelsen at den ekstra punkt opfyldes.