Kombinatorik
Tæl antallet af måder at vælge og arrangere objekter
Kombinatorik handler om at tælle struktureret. Stil altid ét nøglespørgsmål: Har rækkefølgen betydning?
- Ja → Permutation: 1., 2., 3. plads, anagram, PIN-kode
- Nej → Kombination: komité, korthand, lotterital
Med betingelse: fastlæg de bundne elementer, vælg de resterende fra den reducerede pulje.
Kombinatorik handler om at tælle struktureret. Nøglespørgsmål: Har rækkefølgen betydning? Ja → permutation. Nej → kombination. Og: Med eller uden tilbagelægning?
Formler
Kombination — rækkefølgen er LIGEGYLDIG — "vælg k ud af n"
\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\)
Permutation — rækkefølgen BETYDER noget — "k pladser ud af n"
\(P(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)\)
Fakultet
\(n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1\) og \(0! = 1\)
Med betingelse: k-1 faste + vælg resten
Hvis \(m\) bestemte ALTID skal med: vælg de resterende \(k-m\) fra \(n-m\): \(\binom{n-m}{k-m}\)
Eksempler
Eksempel 1
Bestyrelse 7 vælger udvalg på 3 (rækkefølge ligegyldig)
▼
1
Rækkefølge ligegyldig → kombination
\(\binom{7}{3}=\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=\textcolor{#ef4444}{35}\)
\(\binom{7}{3}=\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=\textcolor{#ef4444}{35}\)
Eksempel 2
10 løbere — første, anden og tredje plads (rækkefølge vigtig)
▼
1
Rækkefølge vigtig → permutation
\(P(10,3)=10\cdot 9\cdot 8=\textcolor{#ef4444}{720}\)
\(P(10,3)=10\cdot 9\cdot 8=\textcolor{#ef4444}{720}\)
Eksempel 3
Udvalg på 4 fra 10, men 2 bestemte skal altid med
▼
1
2 er fastlagt, vælg 2 mere fra de resterende 8
\(\binom{8}{2}=\dfrac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=\textcolor{#ef4444}{28}\)
\(\binom{8}{2}=\dfrac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=\textcolor{#ef4444}{28}\)
Eksempel 4 — kombination i sandsynlighed
En klasse: 12 piger, 8 drenge. 3 vælges tilfældigt. P(alle tre er piger)?
▼
1
Gunstige udfald: vælg 3 piger ud af 12
\(\binom{12}{3} = \dfrac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1} = 220\)
\(\binom{12}{3} = \dfrac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1} = 220\)
2
Mulige udfald i alt: vælg 3 ud af 20
\(\binom{20}{3} = \dfrac{20\cdot 19\cdot 18}{6} = 1140\)
\(\binom{20}{3} = \dfrac{20\cdot 19\cdot 18}{6} = 1140\)
3
Sandsynlighed
\(P = \dfrac{220}{1140} \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}193 = 19{,}3\%}\)
\(P = \dfrac{220}{1140} \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}193 = 19{,}3\%}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Nøgleord for kombination: "vælg", "sammensæt", "udvælg" — rækkefølgen er ligegyldig
- Nøgleord for permutation: "første/anden/tredje", "arrangér", "rækkefølge" — rækkefølgen betyder noget
- Med betingelse "X skal altid med": fjern dem fra puljen og vælg resten
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Bruger permutation når rækkefølgen er ligegyldig — giver for stort svar
- \(\binom{7}{3} = \binom{7}{4}\) — begge er 35. Vælg den mindste for nemmere beregning
- Glemmer at dividere med \(k!\) i kombinationsformlen