Harmoniske svingninger
Funktioner af typen \(f(x) = A\sin(\omega x + \varphi) + d\)
Harmoniske svingninger beskriver periodiske fænomener — lyd, bølger, sæsonudsving. Funktionen \(f(x) = A\sin(\omega x + \varphi) + d\) har fire parametre:
- A (amplituden) = halvdelen af sving-bredden: A = (max − min)/2
- ω (vinkelfrekvens) = bestemmer periodens tæthed: T = 2π/ω
- d (midtlinje) = den vandrette akse kurven svinger om: d = (max+min)/2
- φ (faseforskydning) = vandret forskydning — findes fra et givet punkt
A = amplitde
ω = vinkelfrekvens
T = periode
φ = faseforskydning
d = middellinjen
Formler
Amplitde og periode
\(\textcolor{#3b82f6}{A} = |a|\) \(\textcolor{#f59e0b}{T} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{#10b981}{\omega}}\)
Løs a·sin(bx) = c
\(\sin(\textcolor{#10b981}{b}x) = \dfrac{c}{\textcolor{#3b82f6}{a}} \implies x = \dfrac{\arcsin(c/a)}{\textcolor{#10b981}{b}}\) (mindste positive)
Eksempler
Eksempel 1
\(f(x) = \textcolor{#3b82f6}{3}\sin(\textcolor{#10b981}{2}x)\) — amplitde og periode
▼
1
Amplitde = koefficienten foran sin
\(\textcolor{#3b82f6}{A} = |\textcolor{#3b82f6}{3}| = \textcolor{#3b82f6}{3}\)
\(\textcolor{#3b82f6}{A} = |\textcolor{#3b82f6}{3}| = \textcolor{#3b82f6}{3}\)
2
Periode fra koefficienten inde i sin
\(\textcolor{#f59e0b}{T} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{#10b981}{2}} = \textcolor{#f59e0b}{\pi} \approx 3{,}14\)
\(\textcolor{#f59e0b}{T} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{#10b981}{2}} = \textcolor{#f59e0b}{\pi} \approx 3{,}14\)
Eksempel 2 — aflæs fra graf
Grafen har max = 8, min = 2, og én fuld periode for \(x \in [0, 4]\). Bestem forskriften.
▼
1
Aflæs A og d
\(A = \dfrac{8-2}{2} = 3\) \(d = \dfrac{8+2}{2} = 5\)
\(A = \dfrac{8-2}{2} = 3\) \(d = \dfrac{8+2}{2} = 5\)
2
Aflæs T og beregn ω
\(T = 4\) \(\omega = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\)
\(T = 4\) \(\omega = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\)
3
Skriv forskriften (φ = 0 her)
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{3\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) + 5}\)
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{3\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) + 5}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Bestem A og ω fra en graf: \(A=\frac{\max-\min}{2}\), \(T=\) periodelængde, \(\omega=\frac{2\pi}{T}\)
- Løs \(a\sin(bx)=c\): isolér \(\sin(bx)=\frac{c}{a}\), brug \(\arcsin\), del med \(b\)
- Find faseforskydning \(\varphi\): brug et givet punkt \((x_0, f(x_0))\) og løs for \(\varphi\)
- Kombineret med diff.ligninger: harmonisk svingning \(y''=-\omega^2 y\) — løsningen er \(A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(A\) er amplitden — ikke det samme som maksimum (middellinjen kan være \(d\neq 0\))
- \(\omega\) og periode: \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) — sørg for at gange/dividere korrekt
- \(\arcsin\) giver kun løsninger i \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) — der kan være flere løsninger i et interval
💡 Huskereglen: Amplitde = max minus min divideret med 2. Periode = ét fuldt svingning. Jo større ω, jo kortere periode og hurtigere svingning.