Omdrejningslegemer
Rumfang af solidt der opstår ved rotation af en kurve om x-aksen
Når en kurve roterer om x-aksen, dannes et omdrejningslegeme. Forestil dig tynde cirkelskiver stablet langs x-aksen — hver skive har radius f(x) og tykkelse dx. Rumfanget er summen (integralet) af skivernes areal \(\pi r^2 = \pi[f(x)]^2\).
To klassiske fejl: (1) glemmer π foran integralet, og (2) glemmer at kvadrere f(x). Integrer altid \([f(x)]^2\), ikke f(x).
Formler
Rumfang
\(V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\)
Hult omdrejningslegeme
\(V = \pi\int_a^b \bigl([f(x)]^2 - [g(x)]^2\bigr)\,dx\)
Eksempler
Eksempel
\(f(x) = \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{x}}\), rotation for \(x\in[0,4]\)
▼
1
Kvadrér f(x)
\([\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{x}}]^2 = x\)
\([\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{x}}]^2 = x\)
2
Integrer
\(V = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi\cdot 8\)
\(V = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi\cdot 8\)
3
Svar
\(V = \textcolor{#ef4444}{8\pi \approx 25{,}13}\)
\(V = \textcolor{#ef4444}{8\pi \approx 25{,}13}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven beder om "rumfanget af det omdrejningslegeme" der dannes ved rotation af en kurve om x-aksen
- Formelsamlingen (§ Areal og rumfang): \(V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\)
- Del 2: kan kombineres med at finde skæringspunkter eller bestemme a og b
- Variant: hult omdrejningslegeme — rotation mellem to kurver
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Husk π foran integralet — det mangler ofte
- Kvadrér f(x) inden integration: \([f(x)]^2\), ikke f(x)
- Grenerne er grænser [a;b] — find dem ved at sætte f(x)=0 eller aflæse grafen
- Enheden er kubikenhed (fx cm³) — ikke kvadrat
💡 Husk π foran integralet! Kvadrér f(x) inden integration — du integrerer [f(x)]², ikke f(x).