Diff.ligninger — analytisk løsning
Find eksplicitte forskrifter ved at løse separable differentialligninger
Separable differentialligninger kan løses analytisk — vi kan finde en eksakt formel for løsningen ved at samle alle y-led på én side og alle t-led på den anden, og derefter integrere begge sider.
De tre vigtigste typer giver tre løsningsformler, som du indsætter parametre i direkte: Eksponentiel \(y'=ky\), Logistisk \(y'=ky(M-y)\), og Torricelli \(h'=-k\sqrt{h}\).
Husk altid at tjekke løsningen ved at differentiere og verificere at diff.ligningen er opfyldt.
Mange differentialligninger på Mat A eksamen kan løses analytisk — dvs. vi kan finde en eksakt formel for løsningen. Det kræver typisk at ligningen er separabel: man kan samle alle y-led på én side og alle x/t-led på den anden, og derefter integrere begge sider. De tre vigtigste typer er eksponentiel vækst, logistisk vækst og Torricelli (udtømning).
Formler
Eksponentiel vækst/henfald
\(y'=\textcolor{#3b82f6}{k}y \Rightarrow y=\textcolor{#8b5cf6}{y_0}\cdot e^{\textcolor{#3b82f6}{k}t}\)
Logistisk vækst
\(y'=\textcolor{#3b82f6}{k}y(\textcolor{#10b981}{M}-y) \Rightarrow y=\dfrac{\textcolor{#10b981}{M}}{1+\dfrac{\textcolor{#10b981}{M}-\textcolor{#8b5cf6}{y_0}}{\textcolor{#8b5cf6}{y_0}}\cdot e^{-\textcolor{#3b82f6}{k}\textcolor{#10b981}{M}t}}\)
Torricelli (udtømning)
\(h'=-\textcolor{#3b82f6}{k}\sqrt{h} \Rightarrow h(t)=\left(\sqrt{h_0}-\dfrac{\textcolor{#3b82f6}{k}}{2}t\right)^2\)
Eksempler
Eksempel 1 — Eksponentiel
\(y'=0{,}3y\), \(y(0)=20\)
▼
1
Genkend typen: \(y'=ky\) med \(k=0{,}3\)
2
Indsæt i løsningsformlen
\(y=y_0\cdot e^{kt} = 20\cdot e^{0{,}3t}\)
\(y=y_0\cdot e^{kt} = 20\cdot e^{0{,}3t}\)
3
Tjek: \(y(0)=20\cdot e^0=20\) ✓ \(y'=0{,}3\cdot 20e^{0{,}3t}=0{,}3y\) ✓
Eksempel 2 — Logistisk
\(y'=0{,}1y(100-y)\), \(y(0)=10\)
▼
1
Aflæs: k=0,1, M=100, y₀=10
2
Beregn A
\(A=\dfrac{M-y_0}{y_0}=\dfrac{90}{10}=9\)
\(A=\dfrac{M-y_0}{y_0}=\dfrac{90}{10}=9\)
3
kM = 0,1 · 100 = 10
4
\(y=\dfrac{\textcolor{#ef4444}{100}}{1+9\cdot e^{-10t}}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven giver en diff.ligning og en begyndelsesbetingelse \(f(0)=y_0\) — find forskriften for løsningen
- Eksponentiel: \(y'=ky\) → \(y=y_0\cdot e^{kt}\) — indsæt \(y_0\) direkte
- Logistisk: \(y'=ky(M-y)\) → brug formlen med \(A=\frac{M-y_0}{y_0}\) og \(kM\)
- Torricelli: \(h'=-k\sqrt{h}\) → \(h(t)=(\sqrt{h_0}-\frac{k}{2}t)^2\)
- Find \(y\) for et bestemt \(t\): indsæt t-værdien i løsningsformlen
- Find hvornår \(y=c\): sæt formlen lig \(c\) og løs for \(t\) med logaritme
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Logistisk: husk \(kM\) i eksponenten — ikke bare \(k\)
- Logistisk: \(A=\frac{M-y_0}{y_0}\) — pas på hvis \(y_0\) ikke er et pænt tal
- Eksponentiel henfald: \(k\) er negativ — \(e^{kt}\) aftager så mod 0
- Torricelli: \(h(t)\) er kun gyldig for \(t\leq\frac{2\sqrt{h_0}}{k}\) (til tanken er tom)
💡 Logistisk maks-vækst: Den logistiske kurve har størst vækst når \(y=M/2\). Indsæt i diff.ligningen: \(y'=k\cdot\frac{M}{2}\cdot\frac{M}{2}=\frac{kM^2}{4}\).