Sandsynlighed
Betinget sandsynlighed, totalsandsynlighed og Bayes' formel
Sandsynlighedsregning handler om at kvantificere, hvor sandsynligt noget er. På A-niveau arbejdes med betinget sandsynlighed — sandsynligheden for noget, givet at noget andet er sket.
Bayes' formel vender kausaliteten om: vi kender P(symptom | sygdom) men vil vide P(sygdom | symptom). Resultatet er ofte overraskende — en positiv test betyder ikke nødvendigvis, at man er syg, hvis sygdommen er sjælden.
Totalsandsynlighed bruges når der er flere "veje" til samme hændelse. Summer over alle veje og vej med sandsynligheder.
P(A) = sandsynlighed for A
P(B|A) = betinget sandsynlighed
Formler
Betinget sandsynlighed
\(P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Totalsandsynlighed
\(P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|A^c)\cdot P(A^c)\)
Bayes' formel
\(P(A|B) = \dfrac{\textcolor{#10b981}{P(B|A)}\cdot \textcolor{#3b82f6}{P(A)}}{\textcolor{#f59e0b}{P(B)}}\)
Eksempler
Eksempel 1
Totalsandsynlighed — fabrik med to maskiner
▼
M₁ producerer 60% af pærerne, 7% er defekte. M₂ producerer 40%, 5% er defekte.
1
Skriv totalsandsynligheden op
\(P(D) = P(D|M_1)\cdot\textcolor{#3b82f6}{P(M_1)} + P(D|M_2)\cdot\textcolor{#3b82f6}{P(M_2)}\)
\(P(D) = P(D|M_1)\cdot\textcolor{#3b82f6}{P(M_1)} + P(D|M_2)\cdot\textcolor{#3b82f6}{P(M_2)}\)
2
Indsæt tallene
\(= \textcolor{#10b981}{0{,}07}\cdot\textcolor{#3b82f6}{0{,}60} + \textcolor{#10b981}{0{,}05}\cdot\textcolor{#3b82f6}{0{,}40}\)
\(= \textcolor{#10b981}{0{,}07}\cdot\textcolor{#3b82f6}{0{,}60} + \textcolor{#10b981}{0{,}05}\cdot\textcolor{#3b82f6}{0{,}40}\)
3
Beregn
\(= 0{,}042 + 0{,}020 = \textcolor{#ef4444}{0{,}062}\)
\(= 0{,}042 + 0{,}020 = \textcolor{#ef4444}{0{,}062}\)
Eksempel 2
Bayes — pæren er defekt, hvad er sandsynligheden for M₁?
▼
1
Brug Bayes
\(P(M_1|D) = \dfrac{\textcolor{#10b981}{P(D|M_1)}\cdot\textcolor{#3b82f6}{P(M_1)}}{\textcolor{#f59e0b}{P(D)}}\)
\(P(M_1|D) = \dfrac{\textcolor{#10b981}{P(D|M_1)}\cdot\textcolor{#3b82f6}{P(M_1)}}{\textcolor{#f59e0b}{P(D)}}\)
2
Indsæt
\(= \dfrac{\textcolor{#10b981}{0{,}07}\cdot\textcolor{#3b82f6}{0{,}60}}{\textcolor{#f59e0b}{0{,}062}} = \dfrac{0{,}042}{0{,}062} \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}677}\)
\(= \dfrac{\textcolor{#10b981}{0{,}07}\cdot\textcolor{#3b82f6}{0{,}60}}{\textcolor{#f59e0b}{0{,}062}} = \dfrac{0{,}042}{0{,}062} \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}677}\)
Eksempel 3 — medicinsk test (Bayes)
P(sygdom) = 0,01. P(positiv | sygdom) = 0,99. P(positiv | rask) = 0,05. Find P(sygdom | positiv).
▼
1
Totalsandsynlighed for positiv test
\(P(+) = 0{,}99\cdot 0{,}01 + 0{,}05\cdot 0{,}99 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594\)
\(P(+) = 0{,}99\cdot 0{,}01 + 0{,}05\cdot 0{,}99 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594\)
2
Bayes: P(S|+)
\(P(S|+) = \dfrac{P(+|S)\cdot P(S)}{P(+)} = \dfrac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}167\)
\(P(S|+) = \dfrac{P(+|S)\cdot P(S)}{P(+)} = \dfrac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}167\)
3
Overraskende resultat
Kun \(\textcolor{#ef4444}{16{,}7\%}\) chance for sygdom ved positiv test — fordi sygdommen er sjælden (1%)! Det er Bayes' paradoks.
Kun \(\textcolor{#ef4444}{16{,}7\%}\) chance for sygdom ved positiv test — fordi sygdommen er sjælden (1%)! Det er Bayes' paradoks.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven nævner betinget sandsynlighed: "givet at", "hvis" eller P(A|B)
- Totalsandsynlighed: to eller flere veje til samme hændelse
- Bayes: "hvad er sandsynligheden for årsagen givet resultatet?"
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- P(A|B) ≠ P(B|A) — de to er sjældent ens
- Totalsandsynlighed: alle veje skal summere til 1
- Bayes: nævneren er P(B) — brug totalsandsynlighed til at beregne den
- Uafhængige hændelser: P(A∩B) = P(A)·P(B) — men kun hvis de er uafhængige
💡 Huskereglen: Totalsandsynlighed = summér alle veje til hændelsen. Bayes = vend kausaliteten om — "givet resultatet, hvad var årsagen?"