Integralregning
Find stamfunktionen — integrering er det modsatte af differentiering
Integration er den omvendte operation af differentiering. Mens differentiering finder ændringshastigheden, finder integration den akkumulerede mængde. Det bestemte integral \(\int_a^b f(x)\,dx\) giver arealet under kurven fra \(a\) til \(b\) — med fortegn.
Strategien er altid: find stamfunktionen F(x) (ubestemt integral + c) som første skridt. Til det bestemte integral indsætter du øvre grænse minus nedre grænse.
💡 Tjek dit svar ved at differentiere stamfunktionen — du skal få det originale integrand tilbage.
a = koefficient
n = eksponent
c = integrationskonstant
Formler
Potensreglen
\(\displaystyle\int \textcolor{#3b82f6}{a}\textcolor{#8b5cf6}{x}^{\textcolor{#f59e0b}{n}}\,dx = \dfrac{\textcolor{#3b82f6}{a}}{\textcolor{#f59e0b}{n}+1}\textcolor{#8b5cf6}{x}^{\textcolor{#f59e0b}{n}+1} + \textcolor{#06b6d4}{c}\quad(n\neq -1)\)
Eksponentialfunktion
\(\displaystyle\int \textcolor{#3b82f6}{a}\cdot e^{\textcolor{#10b981}{b}x}\,dx = \dfrac{\textcolor{#3b82f6}{a}}{\textcolor{#10b981}{b}}e^{\textcolor{#10b981}{b}x} + \textcolor{#06b6d4}{c}\)
g′/g-reglen
\(\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + \textcolor{#06b6d4}{c}\)
Bestemt integral
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)\)
e-funktion og logaritme
\((e^x)' = e^x \qquad (e^{kx})' = k\cdot e^{kx}\)
\((\ln x)' = \tfrac{1}{x} \qquad (\ln g(x))' = \tfrac{g'(x)}{g(x)}\)
\((\ln x)' = \tfrac{1}{x} \qquad (\ln g(x))' = \tfrac{g'(x)}{g(x)}\)
Sinus og cosinus
\((\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = \mathbf{-}\sin x\) ← minustegnet glemmes!
Eksempler
Eksempel 1
\(\int \textcolor{#3b82f6}{4}x^{\textcolor{#f59e0b}{3}}\,dx\)
▼
1
Brug potensreglen
Ny eksponent: 3+1 = 4. Divider koefficienten med ny eksponent: 4÷4 = 1
Ny eksponent: 3+1 = 4. Divider koefficienten med ny eksponent: 4÷4 = 1
2
Skriv svaret
\(\int 4x^3\,dx = \textcolor{#ef4444}{x^4} + \textcolor{#06b6d4}{c}\)
\(\int 4x^3\,dx = \textcolor{#ef4444}{x^4} + \textcolor{#06b6d4}{c}\)
Eksempel 2
\(\int \dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}\,dx\) — g′/g-reglen
▼
1
Er tælleren lig den afledte af nævneren?
\(g(x) = \textcolor{#10b981}{x^2+3x+1}\), \(g'(x) = \textcolor{#3b82f6}{2x+3}\) ✓
\(g(x) = \textcolor{#10b981}{x^2+3x+1}\), \(g'(x) = \textcolor{#3b82f6}{2x+3}\) ✓
2
Anvend g′/g-reglen direkte
\(= \textcolor{#ef4444}{\ln|x^2+3x+1|} + \textcolor{#06b6d4}{c}\)
\(= \textcolor{#ef4444}{\ln|x^2+3x+1|} + \textcolor{#06b6d4}{c}\)
Eksempel 3
Bestemt integral: \(\int_1^3 2x\,dx\)
▼
1
Find stamfunktionen
\(F(x) = \textcolor{#3b82f6}{x^2}\)
\(F(x) = \textcolor{#3b82f6}{x^2}\)
2
Indsæt den øvre grænse
\(F(\textcolor{#f59e0b}{3}) = \textcolor{#f59e0b}{3}^2 = \textcolor{#10b981}{9}\)
\(F(\textcolor{#f59e0b}{3}) = \textcolor{#f59e0b}{3}^2 = \textcolor{#10b981}{9}\)
3
Træk nedre grænse fra
\(F(\textcolor{#06b6d4}{1}) = \textcolor{#06b6d4}{1}\). Svar: \(\textcolor{#10b981}{9} - \textcolor{#06b6d4}{1} = \textcolor{#ef4444}{8}\)
\(F(\textcolor{#06b6d4}{1}) = \textcolor{#06b6d4}{1}\). Svar: \(\textcolor{#10b981}{9} - \textcolor{#06b6d4}{1} = \textcolor{#ef4444}{8}\)
Eksempel 1
\(\int (3x^2 - 2x + 5)\,dx\) — led for led
▼
1
Integrer hvert led for sig med potensreglen
\(\int 3x^2\,dx = x^3\), \(\int -2x\,dx = -x^2\), \(\int 5\,dx = 5x\)
\(\int 3x^2\,dx = x^3\), \(\int -2x\,dx = -x^2\), \(\int 5\,dx = 5x\)
2
Saml og tilføj konstanten c
\(= \textcolor{#ef4444}{x^3 - x^2 + 5x + c}\)
\(= \textcolor{#ef4444}{x^3 - x^2 + 5x + c}\)
Eksempel 2
\(\int 2e^{3x}\,dx\) — e-funktion
▼
1
Brug \(\int a\cdot e^{bx}\,dx = \frac{a}{b}e^{bx}+c\)
a = 2, b = 3 → divider med b = 3
a = 2, b = 3 → divider med b = 3
2
\(= \textcolor{#ef4444}{\tfrac{2}{3}e^{3x} + c}\)
💡 Huskereglen: Integration er det modsatte af differentiering. Tjek altid dit svar ved at differentiere — du skal få det originale integrand tilbage.
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven bruger ∫-tegnet eller beder om "stamfunktionen" eller "det bestemte integral"
- Bestemt integral: der er grænser (∫_a^b) — svaret er et tal
- Ubestemt integral: ingen grænser — svaret er en funktion + c
- g'/g-reglen: tælleren er den afledte af nævneren
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glemmer + c ved ubestemte integraler
- Bestemt integral: indsæt øvre grænse MINUS nedre — ikke omvendt
- ∫e^{2x}dx = ½e^{2x} + c, ikke e^{2x} + c — husk at dividere med koefficienten
- Hvis grafen er under x-aksen giver integralet et negativt tal — areal er altid positivt (|...|)