Eksponentielle ligninger
Løs ligninger med ukendte i eksponenter ved hjælp af logaritmer
Eksponentielle ligninger har den ubekendte i eksponenten: \(a^x = b\). Løsningen kræver logaritmer — fordi logaritmen er præcis den omvendte operation af eksponenten.
Den vigtigste regel: potensen rykker ned som faktor — \(\ln(a^x) = x\cdot\ln(a)\). Det er denne regel der "frigør" x fra eksponenten.
Kan grundtallene gøres ens (fx \(4^x = 2^{x+6}\) → begge er potenser af 2)? Så sammenlign bare eksponenterne direkte uden logaritmer.
a = grundtal
x = den ukendte
svar = løsning
Formler
Logaritmeregning
\(\textcolor{#3b82f6}{a}^{\textcolor{#f59e0b}{x}} = b \implies \textcolor{#f59e0b}{x} = \dfrac{\ln b}{\ln \textcolor{#3b82f6}{a}}\)
\(e^{\textcolor{#3b82f6}{a}\textcolor{#f59e0b}{x}} = b \implies \textcolor{#f59e0b}{x} = \dfrac{\ln b}{\textcolor{#3b82f6}{a}}\)
\(e^{\textcolor{#3b82f6}{a}\textcolor{#f59e0b}{x}} = b \implies \textcolor{#f59e0b}{x} = \dfrac{\ln b}{\textcolor{#3b82f6}{a}}\)
Samme grundtal
\(\textcolor{#3b82f6}{a}^{f(x)} = \textcolor{#3b82f6}{a}^{g(x)} \implies f(x) = g(x)\)
Eksempler
Eksempel 1
\(\textcolor{#3b82f6}{4}^x = 2^{x+6}\)
▼
1
Omskriv til samme grundtal
\(\textcolor{#3b82f6}{4}^x = (\textcolor{#3b82f6}{2}^2)^x = \textcolor{#3b82f6}{2}^{2x}\)
\(\textcolor{#3b82f6}{4}^x = (\textcolor{#3b82f6}{2}^2)^x = \textcolor{#3b82f6}{2}^{2x}\)
2
Sammenlign eksponenter
\(2x = x + 6\)
\(2x = x + 6\)
3
Løs
\(x = \textcolor{#ef4444}{6}\)
\(x = \textcolor{#ef4444}{6}\)
Eksempel 2
\(\textcolor{#3b82f6}{3}^x = \textcolor{#10b981}{50}\)
▼
1
Tag logaritmen på begge sider
\(x \cdot \ln(\textcolor{#3b82f6}{3}) = \ln(\textcolor{#10b981}{50})\)
\(x \cdot \ln(\textcolor{#3b82f6}{3}) = \ln(\textcolor{#10b981}{50})\)
2
Isolér x
\(x = \dfrac{\ln 50}{\ln 3} \approx \textcolor{#ef4444}{3{,}561}\)
\(x = \dfrac{\ln 50}{\ln 3} \approx \textcolor{#ef4444}{3{,}561}\)
Eksempel 3 — kontekst
\(f(t) = 500 \cdot 1{,}08^t = 2000\). Hvornår er beløbet firedoblet?
▼
1
Isolér eksponentdelen
\(1{,}08^t = \dfrac{2000}{500} = 4\)
\(1{,}08^t = \dfrac{2000}{500} = 4\)
2
Tag ln på begge sider
\(t\cdot\ln(1{,}08) = \ln(4)\)
\(t\cdot\ln(1{,}08) = \ln(4)\)
3
Isolér t
\(t = \dfrac{\ln 4}{\ln 1{,}08} \approx \textcolor{#ef4444}{18{,}0 \text{ år}}\)
\(t = \dfrac{\ln 4}{\ln 1{,}08} \approx \textcolor{#ef4444}{18{,}0 \text{ år}}\)
Eksempel 4 — e-ligning
\(3\cdot e^{2x} - 12 = 0\)
▼
1
Isolér e-funktionen
\(e^{2x} = 4\)
\(e^{2x} = 4\)
2
Tag ln — potensen rykker ned
\(2x = \ln 4 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 4}{2} \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}693}\)
\(2x = \ln 4 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 4}{2} \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}693}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Ligningen indeholder x i eksponenten: a^x = b eller e^{kx} = c
- Svær variant: a^{2x} - a^x - k = 0 — substitution u = a^x giver andengradsligning
- Kan kombineres med logaritmeregler: log(a^x) = x·log(a)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- log og ln er ikke det samme — ln er naturlig logaritme (basis e)
- a^x = b^x+c: tag logaritmen på BEGGE sider — ikke kun den ene
- a^{2x} = (a^x)² — brug substitution u = a^x for at undgå fejl
- Tjek altid at løsningen giver positiv base: a^x > 0 for alle x
💡 Huskereglen: Logaritmen er det "omvendte" af eksponenten. \(a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a(b) = \frac{\ln b}{\ln a}\). Hvis grundtallene kan gøres ens, behøver du ikke logaritmer.