Vektorfunktioner
Parameterkurver, skæringspunkter med akser, tangenter og parameterfremstillinger
En vektorfunktion beskriver en partikels position som funktion af tid. Differentiering giver hastighedsvektoren, som peger i banekurvens retning.
Vandret tangent er det hyppigste eksamensspørgsmål: sæt den lodrette hastighedskomponent lig nul (y'(t) = 0) og tjek at den vandrette IKKE er nul (x'(t) ≠ 0). Find derefter koordinatsættet ved at indsætte t i s(t).
Skæring med x-aksen: sæt y(t) = 0, løs for t, indsæt i x(t). Skæring med y-aksen: sæt x(t) = 0.
Formler
Hastighedsfunktion
\(\vec{s}'(t) = \begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}\) — differentier komponentvis
Skæring med førsteaksen (x-aksen) — y = 0
Sæt \(y(t)=0\), løs for \(t\), indsæt i \(x(t)\) → koordinatsæt \((x_0,\,0)\)
Skæring med andenaksen (y-aksen) — x = 0
Sæt \(x(t)=0\), løs for \(t\), indsæt i \(y(t)\) → koordinatsæt \((0,\,y_0)\)
Vandret tangent
\(y'(t) = 0\) (og \(x'(t) \neq 0\))
Tangenthældning i et punkt
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y'(t)}{x'(t)}\) — indsæt den \(t\)-værdi der svarer til punktet
Parameterfremstilling for tangentlinjen i \(t=t_0\)
\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \vec{s}(t_0) + t\cdot\vec{s}'(t_0) = \begin{pmatrix}x(t_0)\\y(t_0)\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}x'(t_0)\\y'(t_0)\end{pmatrix}\)
Eksempler
Eksempel
Vandret tangent for \(\vec{s}(t)=(t^2-1,\; t^3-3t)\)
▼
1
Find \(y'(t)\)
\(y'(t)=3t^2-3\)
\(y'(t)=3t^2-3\)
2
Sæt lig 0
\(3t^2-3=0 \Rightarrow t=\pm 1\)
\(3t^2-3=0 \Rightarrow t=\pm 1\)
3
Find koordinatsæt
\(t=1\): \(\vec{s}(1)=(0,-2)\) \(t=-1\): \(\vec{s}(-1)=(0,2)\)
\(t=1\): \(\vec{s}(1)=(0,-2)\) \(t=-1\): \(\vec{s}(-1)=(0,2)\)
Eksempel
Skæring med førsteaksen for \(\vec{s}(t)=\begin{pmatrix}t^3-3t\\2t-4\end{pmatrix}\)
▼
1
Sæt y(t) = 0
\(2t-4=0 \Rightarrow t=2\)
\(2t-4=0 \Rightarrow t=2\)
2
Find x-koordinat
\(x(2)=8-6=2\)
\(x(2)=8-6=2\)
3
Skriv koordinatsæt
\((2,\;0)\)
\((2,\;0)\)
Eksempel
Parameterfremstilling for tangent — \(\vec{s}(t)=\begin{pmatrix}t^3-2t\\3t+1\end{pmatrix}\) ved \(t=0\)
▼
1
Find røringspunktet \(\vec{s}(0)\)
\(\vec{s}(0)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)
\(\vec{s}(0)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)
2
Find retningsvektor \(\vec{s}'(0)\)
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}3t^2-2\\3\end{pmatrix}\Rightarrow\vec{s}'(0)=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\)
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}3t^2-2\\3\end{pmatrix}\Rightarrow\vec{s}'(0)=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\)
3
Skriv parameterfremstilling
\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven giver en parameterkurve \(\vec{s}(t)=(x(t),y(t))\) og beder om tangenter, dobbeltpunkter eller hastighed
- Skæring med førsteaksen: sæt \(y(t)=0\) → find \(t\) → indsæt i \(x(t)\)
- Skæring med andenaksen: sæt \(x(t)=0\) → find \(t\) → indsæt i \(y(t)\)
- Formelsamlingen: \(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}\) — differentier komponentvis
- Vandret tangent: \(y'(t)=0\) og \(x'(t)\neq 0\)
- Lodret tangent: \(x'(t)=0\) og \(y'(t)\neq 0\)
- Tangenthældning: \(\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Hastighedsvektor peger i banekurvens retning — ikke nødvendigvis vandret
- Vandret tangent kræver BEGGE betingelser: \(y'=0\) OG \(x'\neq 0\)
- Dobbeltpunkt: kurven passerer samme punkt to gange — find to forskellige t-værdier
- Fart \(=|\vec{s}'(t)|=\sqrt{x'^2+y'^2}\) — ikke det samme som hastighed