Ligningssystemer
Find de værdier af x og y der opfylder to ligninger samtidigt
Et 2×2 ligningssystem har to ligninger og to ubekendte. Geometrisk er det skæringspunktet mellem to linjer. Løsningen er det (x,y) der opfylder begge ligninger samtidig.
Substitution er hurtigst, når én variabel nemt kan isoleres. Additionsmetoden er bedst, når koefficienterne er store — gang en ligning med et tal så ét variabels led forsvinder ved addition.
Tjek altid svaret ved at indsætte i begge originalligninger.
Et 2×2 ligningssystem har to ligninger og to ubekendte. Geometrisk svarer det til at finde skæringspunktet mellem to linjer. Du har to metoder — substitution er ofte hurtigst når én variabel er nem at isolere, additionsmetoden er bedre når koefficienterne er store.
Metoder
Substitutionsmetoden
1. Isolér én variabel i den enkleste ligning
2. Indsæt i den anden ligning
3. Løs for den tilbageværende variabel
4. Find den første variabel ved tilbage-indsætning
2. Indsæt i den anden ligning
3. Løs for den tilbageværende variabel
4. Find den første variabel ved tilbage-indsætning
Additionsmetoden (eliminationsmetoden)
1. Gang én eller begge ligninger med tal så én variabels koefficienter er modsatte
2. Læg ligningerne sammen — variablen forsvinder
3. Løs for den tilbageværende variabel
2. Læg ligningerne sammen — variablen forsvinder
3. Løs for den tilbageværende variabel
Eksempler
Eksempel 1 — Substitution
\(2x+3y=12\) og \(x-y=1\)
▼
1
Isolér x i ligning 2
\(x = 1+y\)
\(x = 1+y\)
2
Indsæt i ligning 1
\(2(1+y)+3y=12 \Rightarrow 2+2y+3y=12 \Rightarrow 5y=10 \Rightarrow y=2\)
\(2(1+y)+3y=12 \Rightarrow 2+2y+3y=12 \Rightarrow 5y=10 \Rightarrow y=2\)
3
Tilbageindsæt
\(x=1+2=3\). Svar: \((x,y)=(\textcolor{#ef4444}{3, 2})\)
\(x=1+2=3\). Svar: \((x,y)=(\textcolor{#ef4444}{3, 2})\)
Eksempel 2 — Addition
\(3x+2y=8\) og \(5x-2y=0\)
▼
1
y-led er allerede modsatte — læg sammen
\((3x+2y)+(5x-2y) = 8+0 \Rightarrow 8x=8 \Rightarrow x=1\)
\((3x+2y)+(5x-2y) = 8+0 \Rightarrow 8x=8 \Rightarrow x=1\)
2
Find y
\(3\cdot1+2y=8 \Rightarrow 2y=5 \Rightarrow y=2{,}5\)
\(3\cdot1+2y=8 \Rightarrow 2y=5 \Rightarrow y=2{,}5\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- To ligninger med to ubekendte — find \((x,y)\) der opfylder begge
- Substitution: brug når én variabel nemt kan isoleres i den ene ligning
- Addition: brug når koefficienterne er store — gang en ligning med et tal og læg sammen
- Kan optræde indirekte: to betingelser der opstilles fra et tekstproblem
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Glem ikke at indsætte tilbage og finde begge variabler
- Tjek svaret i BEGGE ligninger — ikke bare den ene
- Fortegn: når du trækker ligninger fra hinanden, ændres fortegnet på ALLE led
⚠️ Husk: Tjek altid svaret ved at indsætte \((x,y)\) i begge originalligninger. En lille regnefejl et sted giver forkert svar i begge variabler.