Cirkel & Ellipse
Andengradsligninger med to variable — keglesnit
En cirkel er stedet for alle punkter med fast afstand r til centrum C(h,k). En ellipse er stedet for alle punkter, hvor summen af afstandene til to brændpunkter er konstant (2a).
Kvadratkomplettering er teknikken til at omskrive cirkelligningen til normalform. Halvér koefficienten foran x (eller y), kvadrer, og tilføj/subtrahér det ekstra led.
Vigtigt: \(a\) er altid den største halvakse. Brændpunkterne beregnes som \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) — husk det er minus, ikke plus!
a = storakse
b = lilleakse
c = afstand til brændpunkt
Formler
Cirkel — normalform
\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) med centrum \((h,k)\) og radius \(r\)
Ellipse — normalform
\(\dfrac{x^2}{\textcolor{#3b82f6}{a}^2} + \dfrac{y^2}{\textcolor{#10b981}{b}^2} = 1\) med \(\textcolor{#3b82f6}{a} > \textcolor{#10b981}{b} > 0\)
Brændpunkter
\(\textcolor{#f59e0b}{c} = \sqrt{\textcolor{#3b82f6}{a}^2 - \textcolor{#10b981}{b}^2}\) → brændpunkter: \((\pm\textcolor{#f59e0b}{c}, 0)\)
Tangent til ellipse i punkt \((x_0, y_0)\)
\(\dfrac{x_0\cdot x}{\textcolor{#3b82f6}{a}^2} + \dfrac{y_0\cdot y}{\textcolor{#10b981}{b}^2} = 1\)
Eksempler
Eksempel 1
Brændpunkter for \(\dfrac{x^2}{\textcolor{#3b82f6}{25}}+\dfrac{y^2}{\textcolor{#10b981}{16}}=1\)
▼
1
Aflæs halvakser
\(\textcolor{#3b82f6}{a^2=25}\Rightarrow a=5\) og \(\textcolor{#10b981}{b^2=16}\Rightarrow b=4\)
\(\textcolor{#3b82f6}{a^2=25}\Rightarrow a=5\) og \(\textcolor{#10b981}{b^2=16}\Rightarrow b=4\)
2
Beregn c
\(\textcolor{#f59e0b}{c} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = \textcolor{#f59e0b}{3}\)
\(\textcolor{#f59e0b}{c} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = \textcolor{#f59e0b}{3}\)
3
Brændpunkter
\(F_1(\textcolor{#ef4444}{-3}, 0)\) og \(F_2(\textcolor{#ef4444}{3}, 0)\)
\(F_1(\textcolor{#ef4444}{-3}, 0)\) og \(F_2(\textcolor{#ef4444}{3}, 0)\)
Eksempel 2 — kvadratkomplettering
Find centrum og radius for \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)
▼
1
Kompletér x-leddene: halvér −6, kvadrer → 9
\(x^2-6x = (x-3)^2 - 9\)
\(x^2-6x = (x-3)^2 - 9\)
2
Kompletér y-leddene: halvér +4, kvadrer → 4
\(y^2+4y = (y+2)^2 - 4\)
\(y^2+4y = (y+2)^2 - 4\)
3
Saml på normalform — flyt talene til højre
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 9+4+12 = 25\)
Centrum: \(\textcolor{#ef4444}{(3,-2)}\), radius: \(r=\sqrt{25}=\textcolor{#ef4444}{5}\)
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 9+4+12 = 25\)
Centrum: \(\textcolor{#ef4444}{(3,-2)}\), radius: \(r=\sqrt{25}=\textcolor{#ef4444}{5}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Find centrum og radius: omskriv til normalform \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) ved at fuldføre kvadratet
- Find brændpunkter: \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) → brændpunkter i \((\pm c,\,0)\) for ellipse med vandret storakse
- Tangent til ellipse i \((x_0,y_0)\): \(\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1\)
- Bestem ligning fra oplysninger: indsæt kendte punkter/halvakser i normalformen og løs
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(a\) er den STØRSTE halvakse — tjek hvilken brøk der er størst
- Brændpunkter: \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) — ikke \(\sqrt{a^2+b^2}\)
- Radius vs. \(r^2\): \((x-1)^2+(y-2)^2=9\) har \(r=3\), ikke \(r=9\)
💡 Ellipsens egenskab: For ethvert punkt \(P\) på ellipsen gælder \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\). Det er dette der gør ellipsen til et "dobbelt brændpunkt".