Hastighedsvektorer
Differentier vektorfunktioner komponentvis og find specielle tangenter
For en vektorfunktion er hastighedsvektoren den afledte — den peger i banekurvens retning og dens størrelse er farten. Acceleration er den dobbeltafledte.
Vandret tangent (klassisk eksamensspørgsmål): sæt y′(t) = 0, tjek at x′(t) ≠ 0, find koordinatsættet ved at indsætte t i s(t).
Vinkelret på en vektor v: prikproduktet s′(t)·v = 0 giver en ligning i t som du løser.
En vektorfunktion beskriver en partikels position som funktion af tid. Hastighedsvektoren er den afledte — den peger i banekurvens tangentretning og har en størrelse (fart) der svarer til bevægelseshastigheden. Vandret tangent er et klassisk eksamensspørgsmål: det sker præcis når den lodrette komponent af hastigheden er nul.
Formler
Hastighedsvektor — differentier komponentvis
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}\)
Størrelse af hastighed
\(|\vec{s}'(t)|=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\)
Vandret tangent (banekurven er vandret)
\(y'(t)=0\) — og kontrollér at \(x'(t)\neq 0\)
Vinkelret på vektor \(\vec{v}=(p,q)\)
\(\vec{s}'(t)\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow x'(t)\cdot p + y'(t)\cdot q = 0\) — løs for \(t\)
Koordinatsæt for vandret tangent
Find \(t_0\) fra \(y'(t_0)=0\), indsæt i \(\vec{s}(t_0)\) → koordinatsættet \((x(t_0),\,y(t_0))\)
Eksempler
Eksempel
\(\vec{s}(t)=(t^2-1,\; 2t^2-6t)\) — find vandret tangent
▼
1
Differentier
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}2t\\4t-6\end{pmatrix}\)
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}2t\\4t-6\end{pmatrix}\)
2
Sæt y-komponenten = 0
\(4t-6=0 \Rightarrow t=\tfrac{3}{2}\)
\(4t-6=0 \Rightarrow t=\tfrac{3}{2}\)
3
Find koordinatsæt
\(\vec{s}(\tfrac{3}{2})=(\tfrac{9}{4}-1,\; 2\cdot\tfrac{9}{4}-9)=(\tfrac{5}{4},\;-\tfrac{9}{2})\)
\(\vec{s}(\tfrac{3}{2})=(\tfrac{9}{4}-1,\; 2\cdot\tfrac{9}{4}-9)=(\tfrac{5}{4},\;-\tfrac{9}{2})\)
Eksempel
Vinkelret på \(\vec{v}\) — \(\vec{s}(t)=\begin{pmatrix}3t\\2t^2+1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)
▼
1
Find \(\vec{s}'(t)\)
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}3\\4t\end{pmatrix}\)
\(\vec{s}'(t)=\begin{pmatrix}3\\4t\end{pmatrix}\)
2
Prikprodukt = 0
\(3\cdot 2 + 4t\cdot 3=0 \Rightarrow 6+12t=0 \Rightarrow t=-\tfrac{1}{2}\)
\(3\cdot 2 + 4t\cdot 3=0 \Rightarrow 6+12t=0 \Rightarrow t=-\tfrac{1}{2}\)
3
Koordinatsæt (hvis spurgt)
\(\vec{s}(-\tfrac{1}{2})=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}\)
\(\vec{s}(-\tfrac{1}{2})=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Opgaven giver \(\vec{s}(t)\) og beder om \(\vec{s}'(t)\), \(|\vec{s}'(t_0)|\) eller vandret tangent
- Find \(\vec{s}'(t)\): differentier begge komponenter separat
- Størrelse \(|\vec{s}'(t_0)|\): beregn \(x'(t_0)\) og \(y'(t_0)\), brug \(\sqrt{x'^2+y'^2}\)
- Vandret tangent: sæt \(y'(t)=0\) → find \(t\) → indsæt i \(\vec{s}(t)\) for koordinatsæt
- Vinkelret på \(\vec{v}=(p,q)\): prikprodukt = 0: \(x'(t)\cdot p + y'(t)\cdot q=0\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- Vandret tangent kræver \(y'(t)=0\) og \(x'(t)\neq 0\) — tjek begge!
- \(|\vec{s}'(t)|\) er farten (et tal) — \(\vec{s}'(t)\) er hastighedsvektoren
- Glem ikke at indsætte \(t_0\) i \(\vec{s}(t)\) til sidst for at finde koordinatsættet
⚠️ Faldgrube: Vandret tangent kræver at \(y'(t)=0\) og \(x'(t)\neq 0\). Hvis begge er nul, er der et singulært punkt — det er ikke en normal tangent.