Funktioner af to variable
Beregn funktionsværdier, partielle afledte og find stationære punkter
En funktion af to variable f(x,y) giver én y-afhængig outputværdi for hvert par (x,y). Det er en udvidelse af enkelt-variabelfunktioner til to dimensioner.
Partiel differentiering: hold den ene variabel konstant og differentier med hensyn til den anden — præcis som normal differentiering, bare behandl den anden variabel som et fast tal.
Stationære punkter finder du ved at sætte begge partielle afledte lig 0 og løse ligningssystemet.
Formler
Beregn \(f(x_0, y_0)\) — indsæt begge koordinater
Indsæt \(x=x_0\) og \(y=y_0\) i funktionsforskriften og beregn
Partiel afledt m.h.t. \(x\)
\(f'_x\): differentier m.h.t. \(x\), hold \(y\) konstant som en konstant tal
Partiel afledt m.h.t. \(y\)
\(f'_y\): differentier m.h.t. \(y\), hold \(x\) konstant som et konstant tal
Stationære punkter
Løs ligningssystemet: \(f'_x = 0\) og \(f'_y = 0\) samtidigt
Eksempler
Eksempel 1 — beregn funktionsværdi
\(f(x,y) = 2x^2 + 3xy - y^2\) — find \(f(1, 2)\)
▼
1
Indsæt x=1, y=2
\(f(1,2)=2\cdot1^2+3\cdot1\cdot2-2^2=2+6-4=\textcolor{#ef4444}{4}\)
\(f(1,2)=2\cdot1^2+3\cdot1\cdot2-2^2=2+6-4=\textcolor{#ef4444}{4}\)
Eksempel 2 — partielle afledte
\(f(x,y) = 3x^2y + 2y^2\) — find \(f'_x\) og \(f'_y\)
▼
1
\(f'_x\): hold y konstant
\(f'_x = 6xy\)
\(f'_x = 6xy\)
2
\(f'_y\): hold x konstant
\(f'_y = 3x^2 + 4y\)
\(f'_y = 3x^2 + 4y\)
3
Evaluer \(f'_y(2,1)\)
\(f'_y(2,1)=3\cdot4+4\cdot1=\textcolor{#ef4444}{16}\)
\(f'_y(2,1)=3\cdot4+4\cdot1=\textcolor{#ef4444}{16}\)
Eksempel 3 — stationært punkt
\(f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y\) — find stationært punkt
▼
1
Beregn de partielle afledte
\(f'_x=2x-2\) \(f'_y=2y-4\)
\(f'_x=2x-2\) \(f'_y=2y-4\)
2
Sæt begge lig 0
\(2x-2=0\Rightarrow x=1\) og \(2y-4=0\Rightarrow y=2\)
\(2x-2=0\Rightarrow x=1\) og \(2y-4=0\Rightarrow y=2\)
3
Stationært punkt
\((x,y)=(\textcolor{#ef4444}{1,\,2})\)
\((x,y)=(\textcolor{#ef4444}{1,\,2})\)
Genkend opgavetypen
🔍 Sådan ser den ud til eksamen
- Beregn \(f(x_0,y_0)\): indsæt direkte — pas på fortegn og eksponenter
- Find \(f'_x\) eller \(f'_y\): behandl den anden variabel som en konstant
- Stationære punkter: løs \(f'_x=0\) og \(f'_y=0\) som et ligningssystem
- Klassificering (maks/min/sadel) sker med Hessematricen — typisk ikke krævet på Mat A
⚠️ Klassiske eksamensfejl
- \(f'_x\): glem ikke at \(y\) er en konstant — differentiér den IKKE
- \(f'_y\): tilsvarende er \(x\) konstant — \(x^2\) forbliver \(x^2\) (ikke 2x)
- Evaluer altid i det rette punkt til sidst